Dar secuencia $\left ( x_{n} \right )$: $$x_{1}= x_{2}= 1$$ $$x_{3}= \frac{2}{3}$$ $$x_{n}= \frac{x_{n- 1}^{2}x_{n- 2}}{2x_{n- 2}^{2}- x_{n- 1}x_{n- 3}}, \left ( n\geq 4 \right )$$ Encontrar el minimium de $n$ tal que $$x_{n}\leq \frac{1}{10^{6}}$$ He probado la inducción matemática pero es tan dificil y peligro. Por lo tanto, necesito un poco de cuerpo ayuda. Es duro conmigo!
Respuesta
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Una posible solución:
Me he dado cuenta de que $x_n=t^n$ satisface la expresión de $x_n\big(x_{(n-1)},x_{(n-2)},x_{(n-3)}\big)$ le dio superior.
Porque $x_n= \frac{(t^{n-1})^2t^{n-2}}{2(t^{n-2})^2-t^{n-1}t^{n-3}}=\frac{t^{3n-4}}{t^{2n-4}}=t^n$
Ahora tengo que adaptarlo a los tres primeros elementos. Si $n$ es reemplazado por $(n-1)!-1$ luego
$x_1=t^{(1-1)!-1}=1$, $x_2=t^{(2-1)!-1}=1$, y
$x_3=t^{(3-1)!-1}=t$ tiene que ser igual a $\frac{2}{3}$
Así que mi secuencia es la siguiente:
$x_n=\big({\frac{2}{3}}\big)^{(n-1)!-1}$ si $n=1,2,3...$
Podemos ver que $x_n=\big({\frac{2}{3}}\big)^{(n-1)!-1}$ $\rightarrow 0$ si $n\rightarrow \infty$
