Para calcular la suma de usar 2011 th raíces de la unidad

Question

Pregunta:

Deje $x$ ser un número complejo tal que $x^{2011}=1$ $x\neq1$ a continuación, calcular la suma

$$S=\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{x^4}{x^2-1}+\dfrac{x^6}{x^3-1}+\dots+\dfrac{x^{4020}}{x^{2010}-1}$$

Mi intento:

$$x=(1)^{\frac{1}{2011}}\implies x=1,e^{\frac{2\pi i}{2011}},e^{\frac{4\pi i}{2011}},\dots,e^{\frac{2010\pi i}{2011}}$$

vamos, $\alpha= e^{\frac{2\pi i}{2011}},$, entonces las raíces de la ecuación dada se $x=\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\dots,\alpha^{2010}$

también

$$\alpha^{2010}=\dfrac{1}{\alpha};\ \alpha^{2009}=\dfrac{1}{\alpha^2};\ \dots; \ \alpha^{1006}=\dfrac{1}{\alpha^{1005}}$$

ahora, tenemos que calcular:

$$S= \dfrac{\alpha^2}{\alpha-1}+\dfrac{\alpha^4}{\alpha^2-1}+\dfrac{\alpha^6}{\alpha^3-1}+\dots+\dfrac{\alpha^{4020}}{\alpha^{2010}-1}$$

entonces, me combinado de primer término y el último término, del mismo modo el segundo término y el último segundo término y así de esta manera acabé aquí

$$S=\dfrac{\alpha^{2}-\alpha^{-3}}{\alpha-1}+\dfrac{\alpha^{4}-\alpha^{-6}}{\alpha^2-1}+.........+\dfrac{\alpha^{2010}-\alpha^{-1006}}{\alpha^{1005}-1}$$

aquí me quedé atrapado , de alguna manera, yo sólo quería aprovechar la propiedad de que la suma de todas las raíces de la unidad (que sí están en el G. P) es cero, pero no podía

por favor, dame sugerencia o proporcionar la manera correcta de resolver esta cuestión.

gracias!

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También traté de tomar logarítmicas derivadas de $f(x)=x^{2011}-1$, pero no hay avance

Answer 1

$$ \sum_{k=1}^{2010}\frac{x^{2k}}{x^k-1}=\sum_{k=1}^{2010}\left(1+x^k+\frac{1}{x^k-1}\right) \tag{1}$$ y el polinomio mínimo de una primitiva $2011$-ésima raíz de la unidad es $\frac{x^{2011}-1}{x-1}=1+x+x^2+\ldots+x^{2010}$.
Denotando la primitiva $2011$-th raíces de la unidad,$\zeta^1,\zeta^2,\ldots,\zeta^{2010}$, la RHS de $(1)$ es igual a $$ 2010-1+\sum_{k=1}^{2010}\frac{1}{\zeta^k-1}\tag{2}$$ con la última suma es la suma de los recíprocos de las raíces de la $\frac{(x+1)^{2011}-1}{x}$.
Vieta fórmulas de ahí a convertir la RHS de $(2)$ en $$ 2009 - \frac{1}{2011}\binom{2011}{2} = 2009-1005=\color{red}{1004}.\tag{3}$$

Answer 2

Suponiendo que $\zeta$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad consideramos

$$f(z) = \frac{z^2}{z-1} \frac{n z^{n-1}}{z^n-1} = \frac{1}{z-1} \frac{n z^{n+1}}{z^n-1} = \frac{n}{z-1} \left(z + \frac{z}{z^n-1}\right) \\ = n \left(1 + \frac{1}{z-1} \right) \left(1 + \frac{1}{z^n-1}\right).$$

Buscamos $$S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\zeta^{2k}}{\zeta^k-1}.$$

Tenemos por inspección que

$$S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \mathrm{Res}_{z=\zeta^k} f(z).$$

Con los residuos de sumar a cero, esto implica

$$S_n = - \mathrm{Res}_{z=1} f(z) - \mathrm{Res}_{z=\infty} f(z).$$

Para el primer residuo se nota que

$$\frac{1}{z^n-1} = \frac{1}{n} \frac{1}{z-1} + \cdots$$

y el término constante es

$$\left. \frac{1}{z^n-1} - \frac{1}{n} \frac{1}{z-1} \right|_{z=1} \\ = \left. \frac{1}{z-1} \left(\frac{1}{1+z+\cdots+z^{n-1}} - \frac{1}{n}\right)\right|_{z=1}$$

que es por L'Hôpital

$$\left. - \frac{1+2z+\cdots+(n-1)z^{n-2}}{(1+z+\cdots+z^{n-1})^2} \right|_{z=1} = - \frac{1}{2} (n-1) n \frac{1}{n^2} = - \frac{1}{2n} (n-1)$$

y podemos escribir

$$f(z) = n \left(1 + \frac{1}{z-1} \right) \left(1 + \frac{1}{n} \frac{1}{z-1} - \frac{1}{2n} (n-1) \cdots\right)$$

de manera que el residuo es

$$n \left( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} (n-1) \right) = n + 1 - \frac{1}{2} (n-1) = \frac{1}{2} n + \frac{3}{2}.$$

Para el residuo en el infinito nos encontramos con $n\ge 2$

$$- \mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} f(1/z) = -n \mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} \left(1 + \frac{1}{1/z-1} \right) \left(1 + \frac{1}{1/z^n-1}\right) \\ = -n \mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} \left(1 + \frac{z}{1-z} \right) \left(1 + \frac{z^n}{1-z^n}\right) \\ = -n [z^1] \left(1 + \frac{z}{1-z} \right) \left(1 + \frac{z^n}{1-z^n}\right) = - n.$$

La recopilación de todo lo que los rendimientos de la forma cerrada

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \frac{1}{2} n - \frac{3}{2}.}$$

Esto producirá $1004$$n=2011$, confirmando la respuesta por @JackDAurizio que apareció por primera vez.