¿Por qué no puede $y=xe^x$ se resuelve para $x$ ?

Question

Pido disculpas por mi ignorancia matemática al respecto, pero ¿podría alguien ayudarme a entender por qué no es posible (simbólicamente) encontrar una función inversa para $f(x)=xe^x$ ?

La más obvia (pero presumiblemente la más trivial) es que $f$ no pasa el "prueba de la línea horizontal" . Sin embargo, si restringimos el dominio a $x\geq-1$ esto no debería ser un problema (la derivada es positiva para $x>-1$ por lo que la función es estrictamente creciente). Así que ahora mi pregunta es: "¿Por qué no podemos encontrar una función inversa para $f$ en el intervalo $[-1,\infty)$ ?"

Tal vez sea porque $e^x$ es trascendental (no algebraico). Sin embargo, podemos encontrar una inversa para $g(x) = e^x$ que también es trascendental. ¿Es porque estamos "engañando" al definir otra función trascendental, a saber $\ln(x)$ ¿que sea su inversa? En otras palabras, ¿no sería fundamentalmente diferente definir una nueva función, llamarla $\text{lnx}(x)$ (si no es ya otra cosa), para ser la inversa de $xe^x$ en $[-1,\infty)$ y luego decir que $f$ tiene una función inversa de "forma cerrada" / "simbólica" / ??? $f^{-1}(x)=\text{lnx}(x)$ en el intervalo $[-1, \infty)$ ?

Fuente de SageMath para generar el gráfico

xs = (x,-5,2) ys = (y,-1,5) p1 = implicit_plot(x*exp(x)-y,xs,ys, color='blue', legend_label='y=x*e^x') p2 = implicit_plot(x-y,xs,ys, color='orange', linestyle='dashed', legend_label='y=x') p3 = implicit_plot(exp(x)-y,xs,ys, color='green', linestyle='dotted', legend_label='y=e^x') combined = p1 + p2 + p3 combined.axes_labels(['x', 'y']) combined.legend(True) combined.show(title='Transcendental Stuff', frame=True, axes=True, legend_loc='lower right')

Ver también

• ¿Cómo saber si no puedo resolver una ecuación con los métodos "estándar"? (esto tenía algunas respuestas y comentarios útiles)
• Si esta ecuación no se puede resolver algebraicamente, ¿puede resolverse de otra manera?
• ¿Existe una teoría de las funciones trascendentales?
• ¿Existe una prueba de que no hay un método general para resolver ecuaciones trascendentales?

Answer 1

Puede utilizar el Lambert- $W$ para resolverlo simbólicamente.

$y = xe^x$ da $x = W(y)$ .

Usted puede correr solve(x*exp(x)-y,x) en SymPy Live como alternativa a SageMath.

Answer 2

Se puede resolver inventando nuevas funciones, pero no se puede resolver de forma cerrada utilizando trigonométricas, logarítmicas o exponenciales, etc. Lee esto: Chow, Timothy Y. (mayo de 1999), "¿Qué es un número de forma cerrada?"

Answer 3

Como se indica en los comentarios y en otra respuesta, hay una función especial que se ha definido que puede servir como inversa aquí. Sin embargo, esto no responde a tu pregunta básica, que es: ¿por qué es necesario?

Antes de hablar de eso, permítanme decir algo sobre $\ln x$ y $e^x$ . Ambas son funciones trascendentales, y son inversas la una de la otra, pero ninguna está definida simplemente como la inversa de la otra. Ambas funciones surgen de forma muy natural, cada una por su lado. La función logarítmica natural es la integral de $x^{-1}$ para una integral convenientemente definida, y la función exponencial es la solución de una ecuación diferencial que modela el tipo más simple de crecimiento relativo constante. Acaban siendo inversas la una de la otra, y eso es un conjunto de hechos interesantes para entender y maravillarse.

De todos modos, no se pueden utilizar funciones elementales para invertir muchas cosas, como por ejemplo $f(x)=xe^x$ . Esto suele ocurrir cuando mezclamos diferentes tipos de funciones. Las funciones $g(x)=x$ y $h(x)=e^x$ son perfectamente invertibles, y son, respectivamente, polinómica y exponencial. La función $f=gh$ por otro lado, es el producto de una función polinómica con una función exponencial. Esperamos que sea más complicado. No se puede resolver, con los métodos algebraicos habituales, porque cualquier técnica que apliquemos para simplificar $e^x$ desordena la parte del polinomio. Del mismo modo, si se intenta resolver $e^x(x^2-x)=k$ Cualquier cosa que hagas para simplificar la parte polinómica será un lío exponencial.

Es la mezcla de diferentes tipos de funciones, que son susceptibles de ser transformadas con herramientas completamente diferentes, lo que hace que dichas funciones sean complicadas. Otros ejemplos notorios son $\frac{\sin x}{x}$ y $e^{x^2}$ . No es que siempre sean difíciles de invertir, pero ¡intenta hacer cálculo integral con esas funciones!

Answer 4

Voy a dividir su pregunta en dos preguntas distintas:

1. Hace una función inversa a $y=x \cdot e^x$ existen en el dominio $[-1,+\infty)$ ?
2. ¿Podemos encontrar esa función inversa en la "lista estándar" de funciones que todo el mundo conoce?

La pregunta 1 tiene una respuesta fácil: sí, esa función inversa existe. Su existencia es una aplicación de la teorema de la función inversa que la mayoría de los estudiantes encuentran por primera vez sin pruebas en una clase de cálculo ordinario, y que luego encuentran con pruebas en algún tipo de clase de cálculo avanzado. Y entonces, si eres lo suficientemente rápido, podrías incluso ser capaz de ponerle un nombre a esa función, aunque parece que Lambert se te ha adelantado como se muestra en la respuesta de @GNUSupporter.

La pregunta 2 es más difícil de responder. En primer lugar, no existe una "lista estándar" de funciones que todo el mundo conozca. Sin embargo, quizá eso se deba a que no nos hemos esforzado lo suficiente por enumerar todas las funciones. ¿Podemos seguir añadiendo funciones a la "lista estándar" hasta que no tengamos que añadir ninguna más? Por ejemplo, como se sugiere en la respuesta de @GNUSupporter, ¿podemos añadir simplemente la "función Lambert-W" $x=W(y)$ a nuestra lista si nunca antes habíamos oído hablar de ella, y luego declararnos felices? Bueno, tal vez, pero entonces estaría perfectamente justificado preguntar si existe una función inversa a $z=yW(y)$ en algún dominio adecuadamente elegido......................

Este tipo de preguntas se abordan (pero no se responden definitivamente) en una rama de las matemáticas llamada álgebra diferencial que es una especie de generalización amplia de las ecuaciones diferenciales.

Answer 5

$f\colon [-1,\infty)\to\mathbb{R}\colon x\mapsto f(x)=xe^x$ es biyectiva y por lo tanto tiene una inversa. La relación Lambert W consiste en las ramas de la relación inversa de la función $\mathbb{C}\to\mathbb{C}\colon z\mapsto ze^z$ .

$f$ es un función elemental (ver álgebra diferencial), pero Lambert W no.

Hay algunas pruebas que demuestran que Lambert W no es una función elemental. Véanse, por ejemplo, las siguientes referencias.

Liouville, J.: Memorándum sobre la clasificación de los trascendentes y sobre la imposibilidad de expresar las raíces de ciertas ecuaciones como una función finita explícita de los coeficientes. Journal de mathématiques pures et appliquées 2 (1837) 56-105, 3 (1838) 5233-547

El teorema en Ritt, J. F.: Funciones elementales y sus inversas. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90 también se demuestra en Risch, R. H.: Algebraic Properties of the Elementary Functions of Analysis. Amer. J. Math 101 (1979) (4) 743-759 .

Ritt, J. F.: Integración en términos finitos. Liouville's theory of elementary methods. Columbia University Press, Nueva York, 1948

Rosenlicht, M.: Sobre la solvencia explícita de ciertas ecuaciones trascendentales. Publications mathématiques de l'IHÉS 36 (1969) 15-22

Bronstein, M.; Corless, R. M.; Davenport, J. H.; Jeffrey, D. J.: Propiedades algebraicas de la función W de Lambert a partir de un resultado de Rosenlicht y de Liouville. Integral Transforms and Special Functions 19 (2008) (10) 709-712