¿Existe un grupo finito cuya automorphism grupo es simple?

Question

Ignorar cualquier casos triviales. También, incluso si hay algunos ejemplos para $|G|$ pequeño, yo todavía quiero saber si hay simple automorphism grupos arbitrariamente grande,$|G|$.

Para un grupo de existir, algo catastróficamente mal que debe suceder, ya que hay definitionally muchos, muchos subgrupos normales de la automorphism grupo. Ver aquí para ver algunos ejemplos.

El interior de automorfismos son los más famosos. De alimentación Universal de automorfismos son otra. He preguntado a algunos recientes preguntas acerca de aquellos.

Así que mi pregunta, ¿qué grupos tienen un simple automorphism grupo? Y menos valiosamente, ¿qué es lo que pasa cuando/si esto sucede?

Answer 1

Desde $G/Z(G)$ es el interior de automorphism grupo, y es normal en $Aut(G)$, esto tiene que ser trivial o todos los de $Aut(G)$. Por lo tanto $G$ es abelian o un simple grupo completo. En el abelian caso, usted ya ha encontrado un buen conjunto de ejemplos: $Z_2^n$$n\ge3$. Por el simple grupos completos, la Mathieu grupo $M_{23}$ obras.

Answer 2

Ahora puedo responder a la mitad de mi pregunta. Si $G = Z_2 \times Z_2 \times Z_2$,$Aut(G) = GL_3(Z_2) = PSL(3,2)$, el cual es simple de acuerdo a esta página. No tengo idea de por qué es simple. También tengo ningún conocimiento si esto es sólo un capricho ejemplo, como $|G|=8$ es pequeña en este caso. Así que realmente me gustaría una respuesta mejor.