El ritmo de convergencia de $\frac{1}{\sqrt{n\ln n}}(\sum_{k=1}^n 1/\sqrt{X_k}-2n)$, $X_i$ yo.yo.d. uniforme en $[0,1]$?

Question

Deje $(X_n)$ ser una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias uniformemente distribuidas en $[0,1]$; y, por $n\geq 1$, $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{X_k}}\,.$$ Se desprende de la generalizada del teorema del límite central (como en [1] y [2, Teorema 3.1]) que $$\frac{S_n-2n}{\sqrt{n\ln n}}$$ converge en ley a una distribución de Gauss. Sin embargo, en este caso Berry-Esseen no dé cualquier velocidad de convergencia, como los sumandos no son de cuadrado integrable.

Por otra parte, el Ayuntamiento de resultados para este tipo de suma no se aplican. (En [3], esto correspondería a $\alpha=2$, mientras que los resultados son para $0<\alpha<2$.)

¿Cuál es la tasa de convergencia de $\frac{S_n-2n}{\sqrt{n\ln n}}$ a de Gauss?

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[1] Shapiro, Jesse M., "los Dominios de Atracción para los Recíprocos de las Potencias de las Variables Aleatorias." SIAM Journal on de Matemática Aplicada, vol. 29, no. 4, 1975, pp 734-739. JSTOR, www.jstor.org/stable/2100234.

[2] Christopher S. Cruz y Saralees Nadarajah, Estable Leyes por la suma de los Recíprocos. De diciembre de 2011.

[3] Hall, P. (1981), Sobre la Tasa de Convergencia a un Estable la Ley. Revista de la Sociedad Matemática de Londres, s2-23: 179-192. doi:10.1112/jlms/s2-23.1.179

Answer 1

Supongo que la respuesta a esta pregunta depende de cómo se define la tasa de convergencia. Sin embargo, si nos centramos en el comportamiento limitante de la función característica, entonces la respuesta es bastante fácil. Definir por $Z_n := \frac{S_n-2 n}{\sqrt{n \log(n)}}$ como el sin tendencia y normalización de la variable aleatoria y denotan por $\kappa_{Z_n}(k)$ la función característica de la variable. Tenga en cuenta que la función característica de a $Z_n$ siempre existe sin embargo los momentos de orden superior-como veremos - no. Tenemos: $$\begin{eqnarray} \kappa_{Z_n}(k) &:=& \int\limits_{[0,1]^n} e^{\imath k \left( \frac{\sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{x_j}} - 2 n}{\sqrt{n \log(n)}}\right)} \prod\limits_{j=1}^n d x_j\\ &=& e^{-\imath \frac{k 2 n}{\sqrt{n \log(n)}}} \cdot \left( e^{\imath \frac{k }{\sqrt{n \log(n)}}}(1+\frac{\imath k}{\sqrt{n \log(n)}}) + \frac{k^2}{n \log(n)}(-\imath \pi +Ei(\frac{\imath k}{\sqrt{n \log(n)}})\right)^n \end{eqnarray}$$

Ahora, tenemos: $$\begin{eqnarray} \kappa_{Z_n}(k) - e^{-k^2/2} = \frac{1+2 \gamma-\imath \pi +2 \log(k) - \log(\log(n))}{2 \log(n)} \cdot k^2 + O(k^3 \log(k)) \end{eqnarray}$$

Por lo tanto, para las "pequeñas" valores de $k$ podemos ver en la anterior lo que la tasa de convergencia es. Si queremos ser más precisos y hablar de convergencia en términos de alguna norma se requiere más trabajo. Aquí sólo trazar la diferencia entre la función característica en cuestión y la limitación de la función como una función de la $k$. La coloración de las curvas corresponde es como en el arco iris, violeta y rojo que representan a $n=2$ $n=10$ respectivamente.

Actualización: es sólo ahora que tengo familiarizado con las Bayas Esseen tipo de límites mirando Terence Tao del blog https://terrytao.wordpress.com/2010/01/05/254a-notes-2-the-central-limit-theorem/#more-3281 . Por lo tanto tratemos de hacer que mi respuesta más rigurosa. Como se indicó en la pregunta que estamos buscando para encontrar estimaciones sobre el supremum norma de las funciones de distribución acumulativa. Nos deja denotar $G := N(0,1)$ $\phi(x):= 1_{x>0}$ y escribir: $$\begin{eqnarray} &&|| \Psi^{<}_{Z_n} - \Psi^{<}_G ||=\\ &&\mbox{sup}_{a\in {\mathbb R}} \left| P(Z_n < a) - P(G < a)\right| =\\ &&\mbox{sup}_{a\in {\mathbb R}} \left| E[ \phi(Z_n-a) ] - E[\phi(G-a)]\right| =\\ &&\mbox{sup}_{a\in {\mathbb R}} \frac{1}{2\pi} \left|\int\limits_{{\mathbb R}} \hat{\phi}(k) \cdot e^{\imath k a}\cdot \left( \kappa_{Z_n}(k) - e^{-\frac{k^2}{2}}\right) dk\right|\le\\ &&\frac{1}{2\pi} \left|\int\limits_{{\mathbb R}} \left|\hat{\phi}(k)\right| \cdot 1 \cdot \left| \kappa_{Z_n}(k) - e^{-\frac{k^2}{2}}\right| dk\right| \end{eqnarray}$$ donde $\hat{\phi}(k) := \int\limits_{\mathbb R} \phi(x) \exp(\imath k x) dx$. Como se explica en Terence Tao del blog de $\left| \hat{\phi}(k) \right|$ es limitado para grandes valores de $k$.

Ahora, todo lo que necesitas hacer es encontrar la cota superior sobre el logaritmo de la función característica de a $Z_n$ para grandes valores de $n$. Tenemos: $$\begin{eqnarray} &&\log(\kappa_{Z_n}(k)) =\\ && -\imath \frac{k 2 n}{\sqrt{n \log(n)}}+n \log\left( e^{\imath \frac{k }{\sqrt{n \log(n)}}}(1+\frac{\imath k}{\sqrt{n \log(n)}}) + \frac{k^2}{n \log(n)}(-\imath \pi +Ei(\frac{\imath k}{\sqrt{n \log(n)}}) \right)=\\ &&-\frac{k^2}{2} + \\ &&\frac{k^2}{2} \cdot \frac{1+2 \gamma-\imath \pi +2 \log(k) - \log(\log(n))}{\log(n)}+\\ &&\frac{(\imath k)^3}{3} \cdot \frac{-2+6 \gamma -3 \imath \pi+6 \log(k) - 3 \log(n)-3 \log(\log(n))}{\sqrt{n} [\log(n)]^{3/2}} + O(\frac{k^4 [\log(k)]^2}{n}) \end{eqnarray}$$ donde en la última línea he utilizado Mathematica Serie[] comando para ampliar el registro en una serie para el cuarto orden. Ahora claramente tenemos: $$\begin{eqnarray} &&\left| \kappa_{Z_n}(k) - e^{-\frac{k^2}{2}}\right|=\\ &&e^{-\frac{k^2}{2}} \cdot \left| e^{\frac{k^2}{2} \cdot \frac{1+2 \gamma-\imath \pi +2 \log(k) - \log(\log(n))}{\log(n)}+\frac{(\imath k)^3}{3} \cdot \frac{-2+6 \gamma -3 \imath \pi+6 \log(k) - 3 \log(n)-3 \log(\log(n))}{\sqrt{n} [\log(n)]^{3/2}} + O(\frac{k^4 [\log(k)]^2}{n})} - 1\right|\le\\ &&e^{-\frac{k^2}{2}} \cdot \left(\frac{k^2}{2} \cdot |\frac{1+2 \gamma-\imath \pi +2 \log(k) - \log(\log(n))}{\log(n)}|+ O(\frac{k^3 [\log(k)]^1}{\sqrt{n \log(n)}})\right) \end{eqnarray}$$ Para resumir, tenemos lo siguiente: $$\begin{equation} || \Psi^{<}_{Z_n} - \Psi^{<}_G ||\le \frac{1}{2\pi} \cdot \int\limits_{{\mathbb R}} |\hat{\phi}(k)| \cdot e^{-\frac{k^2}{2}} \cdot \frac{k^2}{2} dk \cdot \frac{\log(\log(n))}{\log(n)} + O(\frac{1}{\log(n)}) \end{equation}$$ como $n$ va al infinito.

Actualización 1: Como podemos ver en la anterior la tasa de convergencia tiende a ser muy lento. Por supuesto que puede ser que nuestro límite superior no es firme, y existe una forma más precisa de límite superior que disminuye mucho más rápido con $n$. Por el momento no estoy muy seguro de cómo comprobar si este es el caso o no. Sin embargo, algunos insight se puede lograr haciendo una simulación de Monte Carlo. A continuación me parcela de la muestra en pdf (Azul) junto con el límite pdf (Púrpura) para diferentes valores de $n$. Aquí tomé $n=10,20,50$, y en cada caso usé $m=1000000$ instancias de variables aleatorias. He utilizado el siguiente código de Mathematica para ejecutar la simulación:

n = 50; m = 1000000;
X = RandomReal[{0, 1}, {m, n}];
ll = (Total[1/Sqrt[#]] & /@ X - 2 n)/Sqrt[n Log[n]];
Max[ll]

delta = 1/3;
ll1 = BinCounts[ll, {-5, 5, delta}]/m;
bins = Table[-5 + delta/2 + j delta, {j, 1, Length[ll1]}];
ListPlot[Transpose[{bins, #}] & /@ {ll1/delta, 
   Exp[-1/2 bins^2]/Sqrt[2 Pi]}, Joined :> True, 
 PlotMarkers -> Automatic, PlotLabel -> "n=" <> ToString[n]]

Aquí están las parcelas:

Ahora, las cosas notables acerca de los resultados es que la muestra de pdf es claramente sesgada a la derecha. Todavía hay una gran cantidad de masa en el lado derecho (es decir, para $Z_n > 5$). Como cuestión de hecho, me di cuenta de un valor atípico mentir mucho más allá de la gama y la correspondiente a los valores de $Z_n$ equivalente a unos mil. Ahora, debido a la limitada memoria de mi equipo era incapaz de examinar cómo la posición de las escalas de valores atípicos con $n$. Sin embargo, la simulación indican más bien una lenta convergencia de hecho.