Cuántas palabras (es decir, no "matemáticas" símbolos") se debe utilizar en mis pruebas? ${}{}$

Question

Me debe una vez más, recurrir a los consejos de esta gran comunidad.

Como estuve leyendo sobre el principio del palomar algo acerca de su prueba me pareció extraño. Me explico:

Después de leer "Los Fundamentos: Lógica y Pruebas" capítulo en Rosen "matemática Discreta y sus aplicaciones" libro me quedo con la sensación/idea de que puedo (y debo) describir todas mis pruebas las declaraciones en los símbolos.

Sin embargo, como se puede ver en el principio del palomar de la prueba:

Utilizamos una prueba por contraposición. Supongamos que ninguno de los k cajas de más de un objeto. A continuación, el número total de objetos sería en la mayoría de los k. Esto se contradice con la declaración de que hemos k + 1 objetos.

Sin duda tiene más palabras en inglés que símbolos. Sin embargo, la prueba de que realmente está libre de fallos. Estoy luchando con el hecho de que no se puede convertir en la a -> B formato (espero que entiendas lo que estoy tratando de transmitir).

Sin embargo, hay una manera para representar simbólicamente lo que se dice (como estoy tratando de ponerlo en mi mente)?

O la única manera de argumentar de esta prueba, es mediante el uso de palabras?

Y si es así, ¿hay alguna guía o principio que nos diga cuándo utilizar palabras o símbolos en nuestras pruebas?

Answer 1

Su plan es exactamente al revés.

Todas las pruebas deben ser legibles como el inglés de la prosa, es decir, frases organizadas en párrafos. Los símbolos pueden ser utilizados como necesarios, pero deben ser legibles. Si has definido bastante símbolos, usted puede escribir las partes de la prueba completamente en símbolos, siempre que puedan ser analizados de nuevo en inglés.

Por ejemplo, $$\forall\ x\in\mathbb{R}, \exists\ y\in \mathbb{Z}: x\ge y$$ se lee como "Para todos los números reales $x$, no es un número entero $y$, de tal manera que $x$ es mayor que o igual a $y$."

Answer 2

No se preocupe, sea feliz. Está bien. Hay símbolos que pueden ser utilizados, pero el uso de varios de ellos en realidad no hacen la lógica mejor. $$\begin{array}{|l}\lVert C\rVert=k\\\lVert\,\bigcup_{B\in C} B\,\rVert=k+1\\\hline~\begin{array}{|l}\forall B\in C~(\lVert B\rVert\leq 1)\\\hline\lVert\,\bigcup_{B\in C}B\,\rVert \leq k\\\bot\end{array}\\\neg\forall B\in C~(\lVert B\rVert\leq 1)\\\exists B\in C~(\lVert B\rVert>1)\end{array}$$ "Dado que tenemos una colección de cuadros y el número total de artículos en las cajas es uno más que el número de cajas, ya que si cada caja tenía más de un elemento en el interior, no puede haber más elementos que el número de cajas, contrariamente a lo que se ha dado, por lo tanto, no debe ser algo de la caja(s) en la colección con más de un elemento en el interior."

Answer 3

Mucho de esto también viene a ser el estilo de escritura. Este tipo de pruebas no son sólo un computacional ejercicio; tienen el propósito de expresar una idea, para ser leído y entendido, como cualquier prosa escrito en cualquier libro de filosofía. Diferentes autores se quiere enfatizar diferentes partes, y el mismo autor lo desea, puede expresar la misma prueba de forma diferente para diferentes audiencias. Distintas ramas de las matemáticas se utilizan diferentes símbolos para diferentes grados.

Una diferencia clave entre los matemáticos de la escritura y otros que la escritura es que hemos incorporado un montón de símbolos como una forma de eliminar la ambigüedad y la eliminación de la redundancia, porque los matemáticos estamos muy preocupados con el hecho de ser ambigua, ya que mucho de nuestro trabajo depende de definiciones precisas. Pero los símbolos no son inherentes a los matemáticos de la escritura, que desarrollado a lo largo de milenios.

Así que los símbolos no son, necesariamente, en lugar de que las palabras, son además. Los símbolos son sólo otra manera de expresar lo que ya se podía expresar a través de palabras y diagramas. Entonces, ¿cómo debe usted saber si el uso de simbolos más o menos? De la misma manera en la que recogemos de cualquier estilo de escritura: la lectura de un montón de ejemplos diferentes (por ejemplo, libros de texto y artículos) por diferentes autores, escribiendo mucho, y por la búsqueda de confianza escritores (publicado matemáticos) para leer y criticar su trabajo.

Answer 4

Y si es así, ¿hay alguna guía o principio que nos diga cuándo utilizar palabras o símbolos en nuestras pruebas?

Esto depende en gran medida de lo que usted está tratando de hacer con sus pruebas.

Si quieres hacer matemáticas", entonces usted debería usar cualquier combinación de símbolos y palabras es más clara. Usted necesita asegurarse de que todos sus términos son rigurosamente definido, pero los símbolos pueden sufrir ese problema tan fácilmente como las palabras:

$$ R = \{x|x\noen x\} \\ R \R \ffi R \noen R $$

Por otro lado, hay situaciones en torno a los fundamentos de las matemáticas, donde el pensamiento de pruebas como las secuencias puramente simbólico declaraciones es útil, sin tener en cuenta lo que puede significar en inglés o en otro idioma. Esto es particularmente importante para la numeración de Gödel y su progenie, tales como los teoremas de incompletitud. Esto no significa que usted realmente tiene que escribir pruebas en los símbolos. Sólo significa que, cuando las pruebas son ellos mismos los objetos de estudio, son más fáciles de razón acerca de si están escritos en un lenguaje formal. Como otro ejemplo, el "estándar" de la teoría de conjuntos, Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos (ZFC), nunca se define el símbolo $\in$, en lugar de tratarla como una operación primitiva.

En la tercera parte, a veces puede que desee utilizar un interactivo prueba ayudante o algo similar, especialmente para grandes o complejas pruebas que de lo contrario puede ser difícil de verificar. Estos sistemas generalmente no son "inteligentes" como para tratar con el lenguaje natural de las pruebas, por lo que normalmente tiene que escribir completamente en símbolos o algún lenguaje formal, similar a un lenguaje de programación. Dependiendo de las circunstancias, puede o no ser útil o incluso factible preparar un legible por humanos "traducción" de una simbólica de la prueba. Por ejemplo, el teorema de los cuatro colores originalmente no tienen un fácil de entender humanos de la prueba.

Answer 5

Aquí es una manera de poner más símbolos en la prueba.

Deje $t$ el número total de objetos, y para $j=1,2,\ldots,k$ deje $n_j$ el número de objetos en el cuadro de $j$. Supongamos $\forall j\ n_j\le1$. Entonces $$t=\sum_{j=1}^k n_j\le\sum_{j=1}^k1=k\ .$$ Esto es una contradicción ya que el $t=k+1$. Así que tenemos $\neg(\forall j\ n_j\le1)$, $\exists j\ n_j>1$.

El punto es, que es mejor que el original? ¿Te resulta más fácil de entender y/o más convincente que la original? Si es así, ir a por ello.

En cuanto a mí, yo estoy con @vadim123 y el comentario de @Deepak. En mi humilde opinión el original es clara, comprensible y convincente, y la prueba de que he dado anteriormente es básicamente una pérdida de tiempo.