¿Cuáles son los temas de la actualidad?

Question

Considere la función coseno $f = \cos : \Bbb R \to \Bbb R$.

Es cierto que el conjunto de la recorre $$\left\{f_n := \cos \circ \dotsb \circ \cos, \; n \text{ times } \mid n \geq 1\right\}$$ es linealmente independiente sobre $\Bbb R$ ? Es decir, me pregunto si, por cualquier $r \geq 1$ y cualesquiera números reales $a_k$, tenemos : $$\sum_{k=1}^r a_k f_k = 0 : \Bbb R \to \Bbb R \implies a_k=0 \;\forall k.$$

Sé que esto es cierto si tenemos en cuenta los poderes de $\cos( \cdot )$, pero no sé cómo lidiar con composiciones. Lo que he intentado es tomar la derivada, o inducción sobre la longitud mínima de la dependencia lineal de la relación.

Answer 1

Si se puede usar el hecho de que $\cos(x)$ y su iteración se entera de funciones de una variable compleja, puede utilizar la siguiente idea (yo uso de dichas anotaciones): vamos a proceder por inductioon, el caso de $n=1$ es obvia.

Deje $n\geq 2$, y supongamos que $a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+\cdots+a_nf_n(x)=0$ todos los $x\in \mathbb{R}$. Entonces esto implica que el $g(z)=a_1z+a_2f_1(z)+\cdots+a_nf_{n-1}(z)$ es cero para todos los $z\in [-1,1]$ (debido a $g(\cos(x))=0$, hemos puesto $z=\cos(x)$). Como $g$ es todo, esto implica que $g(z)=0$ todos los $z\in \mathbb{C}$, $a_1z$ es periódica con período de $2\pi$. Por lo tanto $a_1=0$. Ahora , poniendo a $b_1=a_2,...$ etc, tenemos $b_1f_1(x)+\cdots+b_{n-1}f_{n-1}(x)=0$ todos los $x$. La inducción de la hipótesis de aplicar, y hemos terminado. .