Prueba de compacidad

Question

Tengo una duda respecto a este teorema

Un subconjunto compacto$M$ de un espacio métrico está cerrado y delimitado.

Prueba por mi conferencia:

Por cada$x\in \bar{M}$ hay una secuencia$(x_n)$ en$M$ tal que$x_n\longrightarrow x \cdots$. Mi pregunta es ¿Por qué esto? Sé que si$x$ es un punto límite entonces existe$x_n\longrightarrow x$. Pero ¿cómo podré probar cuando$x$ no es un punto límite?

Answer 1

Habrá una secuencia $( x_n )$ tal que $x_n \to x$ simplemente porque si $x$ no es un punto límite, entonces es en $M$, y tenemos la secuencia trivial $x_n = x$.

Si $x \notin M$, entonces el $x$ es un punto límite. Luego podemos seleccionar $x_n \ne x$ tal que $d(x_n,x)

Answer 2

Un espacio métrico es siempre Hausdorff, y conjuntos compactos de Hausdorff espacios están cerrados. Alternativamente, idear una prueba usando el equivalente a la compacidad secuencial: cada secuencia en $K$ tiene un convergentes larga que converge a un elemento en $K$. Relacionar este tema con el límite de puntos en la métrica de los espacios, que son siempre los límites de las secuencias en dicho conjunto.

Pick $x\in K$, $K$ un conjunto compacto. Tenga en cuenta que la colección $$\mathscr B=\{B(x;\epsilon):\epsilon >0\}$$ is an open cover. By compactness, there exists a finite cover, $B(x,\epsilon_1),\dots,B(x;\epsilon_r)$. But then $$K\subseteq B(x,\epsilon)$$ where $\epsilon=\max\limits_{1\leq i\leq r} \{\epsilon_i\}$.

Alternativamente, usando el equivalente a la compacidad secuencial y asumiendo el ilimitado usted puede encontrar una secuencia tal que $d(x_k,x_{n+1})\geq n$ $k=1,2\dots,n$ donde ningún convergente larga va a existir.

Answer 3

Deje $X$ ser un espacio topológico. La pregunta planteada anteriormente puede ser dicho de forma más general como el siguiente lema.

En el límite de puntos:

Deje $A\subset X$. Si hay una secuencia $\{x_n\} \subset A$ que converge a$x$, $x$ es un punto límite de $A$. El conversar vale si $X$ tiene una contables base en $x$, que es una contables de la colección de nbhd $\{U_n\}$ $x$ de manera tal que cualquier nbhd $U$ $x$ contiene al menos un $U_n$. Para que luego se pueda formar la secuencia $\{x_n\}$, teniendo un punto de $x_n \in U_1\cap ...\cap U_n$, lo que se comprueba fácilmente a converger a $x$.

Sobre funciones continuas:

Deje $f: X\rightarrow Y$. Si $f$ es continua, entonces para cada secuencia convergente $x_n\rightarrow x$$X$, la secuencia de imágenes $f(x_n)\rightarrow f(x)$. El conversar vale si $X$ tiene una contables de base en cada punto.

Este resultado se conoce con el nombre de la secuencia de lema (acuñado por James Munkres). Un espacio que tiene una contables de base en cada punto se llama primera contables. Las secuencias son suficientes para detectar el límite de puntos y continuidad de funciones en un primer contables espacio (lo cual no es cierto en general). Un espacio métrico es siempre lo primero contables para $\{B(x,1/n)\}$ es una contables base en x. Métrica, los espacios son muy especial, y este es un ejemplo particular de las propiedades de muchos de los que disfrutan.