Por el teorema de Carleson, sabemos que para cada $f\in L^2(\mathbb{T})$ % $ $$ f(x)=\lim{N\rightarrow\infty}\sum{k=-N}^N\hat{f}(k)e^{2\pi ikx}\;\text{ a.e.} $Supongamos ahora que $f\in L^2(\mathbb{T}^2)$. También aplicando el teorema de Carleson, cual sería la forma más fácil de probar $$ f(x,y)=\lim{N\rightarrow\infty}\sum{k,l=-N}^N\hat{f}(k,l)e^{2\pi i(kx+ly)}\;\text{ a.e.}? $ $ es cierto ese % $ $$ f(x,y)=\lim{M,N\rightarrow\infty}\sum{|k|\leq M,\,|l|\leq N}\hat{f}(k,l)e^{2\pi i(kx+ly)}\;\text{ a.e.}? $($\lim{M,N\rightarrow\infty}$ significa el límite de una secuencia doble: da ${a{m,n}}\subseteq\mathbb{C}$, decimos que $\lim{m,n\rightarrow\infty}a{m,n}=L$ si todos $\epsilon>0$ allí existe un $N{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tal que $|L-a{m,n}|
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ambas preguntas fueron respondidas en breve papeles por Charles Fefferman:
En el segundo nos muestra que la respuesta a su segunda pregunta es no. El contraejemplo es muy simple: considere el $f(x,y)=e^{i\lambda xy}$ grandes $\lambda$ y supongamos que el alineando las funciones asociadas a la supremum se $N(x,y)=\lambda x$ $M(x,y)=\lambda y$ (puede ignorar que estos no son números enteros). Entonces uno puede mostrar una estimación, desde abajo, por $C\log(\lambda)$. Ahora vamos a $\lambda\to\infty$, contradicción. Detalles en el papel.
En el primero de ellos responde a su primera pregunta. Es un 2-página de prueba y sólo utiliza el teorema de Carleson en una dimensión. La clave aquí es que hay sólo un único parámetro de escala $N$. Tal vez es razonable creer que el obligado por la Carleson operador maximal asociado a la rectángulos $[-N,N]\times [-N,N]=N[-1,1]^2$ pueden ser deducidas de unos límites adecuados con $N [-1,1]\times (-\infty,\infty)$ $N(-\infty,\infty)\times [-1,1]$ que cada uno siga de Carleson uno-dimensional teorema simplemente la fijación de la segunda (o primera) de la variable. De nuevo, vea el documento de una manera de hacer que esta idea precisa.
Alternativamente, también es posible esencialmente repetir el unidimensional de la prueba de Carleson del teorema en dos dimensiones (y de mayores dimensiones). Esta es la forma más compleja y hay algunas complicaciones de la técnica, pero tiene algunas ventajas (por ejemplo, permite obtener información más precisa para $f$ muy cerca de $L^1$). Con este fin, la referencia original es
Este trabajo fue esencialmente rehacer el uso de las modernas tiempo-frecuencia de las herramientas de análisis en
