Dimensión de los espacios de mapas bi lineal

Question

Para $V$ de un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$, me he encontrado con la afirmación de que $$ \dim(\mathrm{Hom}(V,V)) = \dim(\mathrm{Hom}(V \times V, \mathbb{K})) $$

donde $\mathrm{Hom}(V,V)$ el valor de los espacios vectoriales, respectivamente, de todos los lineales de los mapas de $V$ $V$y todos los bilineal mapas de $V\times V$ a el campo de tierra $\mathbb{K}$. Estoy seguro de que voy con vistas a algo elemental, pero no lo veo.

Hay un teorema que, en general, para cualquier finito-dimensional espacios vectoriales $V$ $W$ $$ \dim(\mathrm{Hom}(V,W)) = \dim(V)\dim(W) $$

Pero, $\dim(V \times W) = \dim(V) + \dim(W)$ y por lo tanto $$ \dim(\mathrm{Hom}(V \times V, \mathbb{K})) = (\dim(V) + \dim(V))\cdot \dim(K) = 2\dim(V)\cdot 1 $$ que obviamente no es igual a $\dim(\mathrm{Hom}(V,V)) = \dim(V)\cdot\dim(V)$

Donde está mi error?

Answer 1

Chris Águila ya observación-contestó el principal problema, pero yo también voy a añadir que el conjunto de $Bilin_{\mathbb{K}}(V\times V,\mathbb{K})$ es otra manera de escribir $V\otimes_{\mathbb{K}}V$, y de este último tipo tiene dimensión $dim(V)^2$. Esta es la interpretación de los tensores como multilineal funcionales.

EDIT: Como Chris era lo suficientemente bueno para recordarme, $Bilin_{\mathbb{K}}(V\times V,\mathbb{K})$ es en realidad, naturalmente, identificado con el doble módulo de $(V\otimes_{\mathbb{K}}V)^\ast$ en lugar de sólo $V\otimes_{\mathbb{K}}V$. Pero desde finito dimensionales espacios vectoriales son isomorfos a sus duales, la declaración acerca de las dimensiones es todavía bien.

Answer 2

Yo no escribiría $\operatorname{Hom}(V \times V, \mathbb K)$ por el espacio de bilineal mapas, ya que no hay nada para distinguirlo de su antigua notación para el espacio de lineal mapas. He visto a $L^2(V, V; \mathbb K)$ utiliza, sino $\operatorname{Bilin}(V, V; \mathbb K)$ tiene la ventaja de ser obvio. En cualquier caso, nunca está de más especificar su notación.

Ahora para calcular la dimensión. Deje $\{e_1, \ldots, e_n\}$ ser una base para $V$, y deje $\{f_i\}$ la correspondiente base dual. Entonces me afirmación de que el conjunto de $n^2$ bilineal mapas \[ F_{ij}(x, y) = f_i(x)f_j(y) \qquad i, j = 1, \ldots, n \] es una base para $L^2(V, V; \mathbb K)$. Para recordar este hecho, que podría ayudar a recordar cómo formas bilineales corresponden a matrices después de que uno ha elegido una base.