Las otras raíces del #% de la %#% del polinomio mínimo para $47$

Question

El polinomio mínimo de a $x=\cos 1 ^\circ=\cos \frac{\pi}{180}$ es:

$$281474976710656 x^{48}-3377699720527872 x^{46}+18999560927969280 x^{44}- \\ -66568831992070144 x^{42}+162828875980603392 x^{40}-295364007592722432 x^{38}+ \\ +411985976135516160 x^{36}-452180272956309504 x^{34}+396366279591591936 x^{32}- \\ -280058255978266624 x^{30}+160303703377575936 x^{28}-74448984852135936 x^{26}+ \\ +28011510450094080 x^{24}-8500299631165440 x^{22}+2064791072931840 x^{20}- \\ -397107008634880 x^{18}+59570604933120 x^{16}-6832518856704 x^{14}+ \\ +583456329728 x^{12}-35782471680 x^{10}+1497954816 x^8- \\ -39625728 x^6+579456 x^4-3456 x^2+1$$

Esto, obviamente, ha $48$ raíces, pero ya que está, incluso, sólo necesitamos considerar $24$ positivo raíces.

Una es $x=\sin 1 ^\circ=\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{180})=\cos \frac{89\pi}{180}=\cos 89 ^\circ$.

Parece que todas las otras raíces se realizan mediante el uso de números de grados $<90$, que no compartan divisores con $180$:

$$x=\cos \alpha ^\circ$$

$$\alpha=\{1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61,67,71,73,77,79,83,89 \}$$

¿Cuál es el general algebrac razón de esto? ¿Cómo funciona esta regla de trabajo para otras funciones trigonométricas de racional multiplica de $\pi$?

Si, en general, nos encontramos con un polinomio para el siguiente número:

$$y=\text{trig} \frac{p}{q} \pi $$

Donde $\text{trig}=\{ \sin, \cos, \tan \}$, $p,q$ - enteros, entonces ¿cuál será el de otras soluciones?

Answer 1

En Una Nota en Trigonométricas de Números Algebraicos por D. H. Lehmer (y también aquí con una notación diferente) nos encontramos con que $$ z^{d}\Phi_n(z) = \psi_n(z+z^{-1}) $$ donde $\Phi_n$ $n$- th cyclotomic polinomio y $d=\frac{\phi(n)}{2}$ es el grado de $\psi_n$, que es la mitad del grado de $\Phi_n$. Lehmer demuestra que $\psi_n$ es irreductible.

Las raíces de $\psi_n$, lo que corresponden a los pares de raíces de $\Phi_n$, que son los primitivos $n$-raíces de la unidad. Por lo tanto, las raíces de $\psi_n$$2\cos\left(2\frac{k\pi}{n}\right)$$\gcd(k,n)=1$.

Por lo tanto, los números de $\cos\left(2\frac{k\pi}{n}\right)$ son las raíces de $\psi_n(2x)$.