¿Cómo puedo probar $2\sup(S) = \sup (2S)$?

Question

Deje $S$ ser no vacío acotado subconjunto de $\mathbb{R}$$T = \{2s : s \in S \}$. Espectáculo $\sup T = 2\sup S$

Prueba

Considere la posibilidad de $2s = s + s \leq \sup S + \sup S = 2\sup S $. $T \subset S$ donde T es también limitada, por lo que la aplicación de la lub de la propiedad, debemos tener $\sup T \leq 2 \sup S$.

Por otro lado $2s + s - s \leq \sup T + \sup S - 3\sup S \implies 2\sup S \leq 2s + 2\sup S \leq \sup T $. Que da el resultado deseado.

Bueno estoy realmente preocupado por mi otra dirección. Especialmente $2\sup S \leq 2s + 2\sup S$, no sé que $2s$ es positivo?

También en el comienzo, ¿cómo puedo saber que $\sup S \leq 2 \sup S$? ¿Cómo puedo saber que el supremum es positivo?

Answer 1

No se puede asumir $s$ es positivo, ni se puede asumir $\sup S$ es positivo. La prueba también asume un par de cosas raras:

• $T \subset S$ normalmente no es cierto.
• $2s + s - s \le \sup T + \sup S - 3\sup S$ no es necesariamente cierto. ¿Por qué habría de $-s \le -3\sup S$?

La primera parte de la prueba es realmente correcto, ignorando la $T \subset S$ declaración. Lo que están diciendo es que cualquier elemento de a $T$, decir que el elemento $2s$, está limitada anteriormente por $2 \sup S$; por lo tanto $2 \sup S$ es un límite superior en $T$; por lo tanto $2 \sup S \ge \sup T$ por la menor cota superior de la propiedad.

Para la segunda parte de la prueba, usted necesita demostrar que $\sup T \ge 2 \sup S$. Para hacer esto, usted necesita demostrar que $\frac{\sup T}{2}$ es un límite superior en $S$. Esto implicará $\frac{\sup T}{2} \ge \sup S$ por lo menos del límite superior de la propiedad.