¿Cómo se relaciona la dirección de propagación de la función de onda con la dirección del movimiento de la partícula?

Question

En su libro de introducción a la mecánica cuántica, Griffiths resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial delta de la forma $$V(x) = -V_0\delta(x).$$

Ahora, al analizar los estados de dispersión deriva las siguientes ecuaciones en las distintas regiones,

Aquí $\displaystyle k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ . La continuidad de $\psi$ y $\frac{d\psi}{dx}$ da dos ecuaciones. Sin embargo, tenemos cuatro variables ( $A$ , $B$ , $F$ , $G$ ). Ahora argumenta:

... Recordemos que $\exp(ikx)$ da lugar [cuando se acopla con el factor dependiente del tiempo $\exp(-iEt/\hbar)$ ] a una función de onda que se propaga a la a la derecha y $\exp(-ikx)$ conduce a una onda que se propaga hacia la izquierda. De ello se desprende que $A$ es la amplitud de una onda que entra por la izquierda, $B$ es la amplitud de una onda que vuelve a la izquierda, y $G$ es la amplitud de una onda que entra por la derecha. En un experimento típico de dispersión, las partículas se disparan desde una dirección, digamos que desde la izquierda. En ese caso, la amplitud de la onda que entra por la derecha será cero .

Ahora bien, el problema con este argumento es donde establece la conexión entre la dirección de disparo de la partícula y la dirección de propagación de la función de onda. Hasta donde yo sé, $\psi$ no tiene sentido físico y estos componentes escalares de $\psi$ (como se muestra en la figura) son ondas viajeras sólo en un sentido puramente matemático. ¿Cómo podemos sacar conclusiones sobre $G$ ¿en función de la dirección de los disparos?

Answer 1

No son puramente matemáticos. Esto puede verse fácilmente calculando la corriente de probabilidad de Schrödinger, $$ j(x) = \frac{\hbar}{2mi}\left[\psi^*(x)\frac{\partial\psi}{\partial x}(x) - \psi(x)\frac{\partial\psi^*}{\partial x}(x) \right], $$ sobre el estado $\psi(x) = A e^{\pm ikx}$ que le dará $j(x) = |A|^2\cdot(\pm \hbar k)/m$ es decir, si el signo es negativo, se tiene un flujo de partículas hacia la izquierda.

Del mismo modo, decir " $\psi$ tampoco es especialmente correcto: es un objeto difícil de interpretar, pero su contenido físico va mucho más allá de la densidad de probabilidad posición-espacio $\rho_X(x) = |\psi(x)|^2.$ Por ejemplo, la fase es crucial para determinar la densidad del momento-espacio $\rho_P(p) = \left|\tilde \psi(p)\right|^2$ pero ni siquiera eso es suficiente - incluso el pleno conocimiento de $\rho_X(x)$ y $\rho_P(p)$ es insuficiente para determinar completamente $\psi$ o los observables experimentales que se pueden obtener de ella.