Secuencia de Sylvester - representación en serie de la constante de Vardi

Question

En primer lugar, un poco de historia - La secuencia de Sylvester se define recursivamente como $$e_{n+1}=\prod_{j=0}^{n-1}e_j=e_n^2-e_n+1, \space\space\space e_0=2$$ y, milagrosamente, existe un número $E\approx 1.26$ que satisface $$e_n=\lfloor E^{2^{n+1}}+1/2\rfloor$$ Wolfram da una representación en serie para la constante $E$ (también llamado " La constante de Vardi "), una prueba que no he podido encontrar (o derivar): $$E=\frac{\sqrt 6}{2}\exp\Bigg[\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^{j+1}}\ln\bigg(1+\frac{1}{(2e_j-1)^2}\bigg)\Bigg]$$ o, reducido a un producto, $$E=\frac{\sqrt 6}{2}\prod_{j=1}^\infty \bigg(1+\frac{1}{(2e_j-1)^2}\bigg)^{2^{-j-1}}$$ Reducido aún más, esto es igual a $$E=\frac{\sqrt 6}{2}\prod_{j=1}^\infty \bigg(\frac{4e_{j+1}-4}{4e_{j+1}-3}\bigg)^{2^{-j-1}}$$ ¿Cómo se puede obtener esta propiedad? No he podido avanzar mucho en su derivación.

Answer 1

Advertencia: esta es una respuesta parcial. Intentaré explicar la metodología para la construcción de la función generadora y la definición de la constante (le falta detalle pero debería dar una visión general, si el lector encuentra errores por favor sea libre de arreglarlos o hágamelo saber e intentaré arreglarlos). Espero que sirva como idea de cómo se puede desarrollar la constante de Vardi y su función generadora. Así que a continuación no incluiré la construcción de $E\approx 1.26$ que satisface $$e_n=\lfloor E^{2^{n+1}}+1/2\rfloor$$ pero una construcción similar basada en otra constante que llamaré $L$ tal que $L\approx 1.597910225682488561085083110$ que satisface $$e_n=\lfloor L^{2^{n}}+1/2\rfloor$$

La diferencia es que el exponente de mi función generadora basada en la constante $L$ es $2^{n}$ en lugar de $2^{n+1}$ como en el caso de Vardi $E$ .

1. Básicamente observamos que la expresión de abajo es verdadera:

$$(e_n-1)^2 \lt e_{n+1} \lt e_n^2$$

para La secuencia de Sylvester :

$2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443, \dots$

(secuencia A000058 en la OEIS).

Por ejemplo

$$(e_0-1)^2 = (2-1)^2=1 \lt e_1=3 \lt e_0^2 = 2^2=4$$

$$(e_1-1)^2 = (3-1)^2=4 \lt e_2=7 \lt e_1^2 = 3^2=9$$

$$(e_2-1)^2 = (7-1)^2=36 \lt e_3=43 \lt e_2^2 = 7^2=49$$

$$\cdots$$

2. Siguiendo el clásico Demostración de Mills (1947) (véanse los detalles del teorema y la prueba en el documento) podemos concluir que tenemos una secuencia creciente monótona acotada capaz de generar cada $e_n$ . La generación de la $L$ constante es la siguiente:

$$L_0={e_0^{\frac{1}{2^0}}}$$

$$L_1={e_1^{\frac{1}{2^1}}}$$

$$L_2={e_2^{\frac{1}{2^2}}}$$

$$\cdots$$

$$L_5={e_5^{\frac{1}{2^5}}}=1.597910225682488561085083110$$

Donde $L$ será: $$\lim_{n \to \infty} L_n \ .$$ Como en el caso de los resultados clásicos de Mills, no sabemos si se trata de un número racional o si se puede obtener una fórmula de forma cerrada.

Por lo tanto, necesitará más precisión como $n$ crece más. Con $L_5$ podremos calcular con precisión $\{e_0,e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\}$

La función generadora inicialmente sería la siguiente (requerirá una corrección que explicaré más adelante):

$$e_n = \lfloor L^{2^n} \rfloor$$

Por ejemplo, (aún sin corregir):

$$e_5 = \lfloor L^{2^5} \rfloor = 3263443$$

$$e_4 = \lfloor L^{2^4} \rfloor = \color{red}{1806}$$

$$e_3 = \lfloor L^{2^3} \rfloor = \color{red}{42}$$

$$e_2 = \lfloor L^{2^2} \rfloor = \color{red}{6}$$

$$e_1 = \lfloor L^{2^1} \rfloor = \color{red}{2}$$

$$e_0 = \lfloor L^{2^0} \rfloor = \color{red}{1}$$

Como se puede observar todavía $e_0 \dots e_4$ no son exactas, pero si añadimos $1/2$ la corrección es lo suficientemente buena como para que el resultado de la función suelo coincida con la secuencia (como se puede ver la misma corrección se hace en la función generadora del OP para la constante de Vardi $E$ ).

$$e_n=\lfloor L^{2^{n}}+1/2\rfloor$$

Y ahora:

$$e_5 = \lfloor L^{2^5} +1/2\rfloor = 3263443$$

$$e_4 = \lfloor L^{2^4} +1/2 \rfloor = 1807$$

$$e_3 = \lfloor L^{2^3} +1/2 \rfloor = 43$$

$$e_2 = \lfloor L^{2^2} +1/2 \rfloor = 7$$

$$e_1 = \lfloor L^{2^11/2} +1/2 \rfloor = 3$$

$$e_0 = \lfloor L^{2^0} +1/2 \rfloor = 2$$

Mi opinión es que la corrección es necesaria porque, debido a las propiedades de la secuencia, estamos incrustando la secuencia en intervalos cuadráticos $(e_n-1)^2 \lt e_{n+1} \lt e_n^2$ en lugar de intervalos de la forma $e_n^2 \lt e_{n+1} \lt (e_n+1)^2$ (que es el mismo caso que la constante de Mills pero para intervalos basados en potencias de tres en lugar de potencias de dos. En el caso de la constante de Mills la corrección no es necesaria). Sé que este punto requiere una explicación formal pero me atrevería a decir que está relacionado con la definición de los intervalos cuadráticos.

Así hemos podido definir la función generadora:

$$e_n=\lfloor L^{2^{n}}+1/2\rfloor$$

donde

$$L\approx 1.597910225682488561085083110$$

Esto es básicamente una visión general y carece de muchos detalles, pero la cuestión es que debido a las características de la secuencia podemos acotarla en intervalos cuadráticos. Debido a esto, existe una secuencia monótona creciente que podemos encajar en una constante, tal que un exponente cuadrático aplicado a ella (más la función suelo corregida por $+1/2$ ) es capaz de recuperar la secuencia incrustada. Así que creo que se puede decir que esto también lo ha hecho Vardi de forma similar. Sobre los cálculos de Wolfram, creo que los hace el motor de Wolfram al revés, una vez que se ha definido correctamente la función generadora y la constante. Se puede ver que la precisión de $E$ depende de la iteración $e_n$ así como $n$ crece, necesitamos más precisión de $E$ (y lo mismo para mi ejemplo $L$ ) para recuperar con precisión el elemento $e_n$ de la secuencia.