Por favor, tened paciencia conmigo porque no soy matemático y esto es difícil de redactar correctamente :]
Necesito la ecuación de a espiral logarítmica (llamémoslo $S(\theta)$ ) que cumpla ciertas restricciones para un visualizador de música en el que estoy trabajando. Llamemos a la longitud de arco de la espiral $A(\theta)$ . Busco una espiral que cumpla los siguientes requisitos:
$A(0)=27.5$
$A(2\pi)=55.0$
$A(4\pi)=110.0$
$A(6\pi)=220.0$
$A(8\pi)=440.0$
Básicamente, quiero que la longitud del arco de esta espiral corresponda a la frecuencia de una nota musical. Los requisitos que di básicamente trazar las octavas de "A" notas. ( http://www.phy.mtu.edu/~suits/notefreqs.html ). Así puedo crear un espectrograma "direccional". Todas las notas "A" apuntarán hacia $\theta=0,2\pi,4\pi,...$ todas las notas "E" apuntarán aproximadamente en la dirección de $\theta=\pi,3\pi,...$ .
Pasé algún tiempo moliendo aproximaciones de $a$ y $b$ valores que me dan valores adecuados entre arclengths de 27,5 y 14080.
Los valores constantes de cierre a los que he llegado son:
$a=1.5145$
$b=0.0551625$
Estoy buscando una manera de generar valores de expresiones para $a$ y $b$ que producirá resultados de arclitud muy precisos para la amplitud del rango auditivo humano medio (20Hz-20KHz). Si alguien pudiera explicarme el proceso que tendría que seguir para obtener estos valores, le estaría muy agradecido. Avísenme si algo no tiene sentido. Mi mente es un lugar horriblemente enredado.
