Secuencia acotada en el espacio de Hilbert contiene débil subsequence convergente

Question

En el espacio de Hilbert $H$, ${x_n}$ es una secuencia acotada entonces tiene un subsequence convergente débil.

¿Hay alguna prueba corta? Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que $M$ límites la secuencia. Entonces, si pensamos en $H$ como sentada dentro de $H^{**}$, tendremos cualquier $T \in H^\ast$ $|T| \leq 1$ $|x_n(T)| = |Tx_n| \leq |x_n| \leq M$, por lo que las normas del operador de la $x_n$ pensaban como operadores en $H^\ast$ son limitadas por $M$. Aplique de Banach-Alaoglu. (A la bola de la unidad de $H^{\ast \ast}$.)