Transformación de Fourier en $ \mathbb {R}^3$

Question

He estado atascado en este problema de los deberes durante casi un día, así que estaría muy agradecido por cualquier consejo. El problema es encontrar $$ \int\int\int_ { \mathbb {R}^3} \frac {1}{ \mathbf {x}^2+1}e^{-2 \pi i (x_1 \zeta_1 +x_2 \zeta_2 +x_3 \zeta_3 )}dx_1dx_2dx_3$$ donde $ \mathbf {x} \in \mathbb {R}^3$ . No estoy seguro de cómo hacer esto; sé que la transformación de Fourier de $1/(1+x^2)$ en $ \mathbb {R}$ es $ \pi e^{-2 \pi | \zeta |}$ pero no creo que eso ayude en absoluto. También he intentado cambiarlo a coordenadas esféricas.

Además, si alguien pudiera explicar brevemente cómo se relaciona esto con la resolución de la ecuación $u(x)- \Delta u(x)=f(x)$ , $x \in \mathbb {R}^3$ y $ \Delta $ siendo el operador lapón, estaría eternamente agradecido.

Answer 1

Vamos a calcular la Transformada de Fourier de la medida de la superficie en una esfera de radio $r$ . Lo haremos integrando en rebanadas.

La medida singular apoyada en la esfera es el límite de la medida de volumen en una delgada esfera de espesor $ \mathrm {d}r$ dividido por $ \mathrm {d}r$ . Al integrar un trozo, hay que tener en cuenta el ángulo de intersección del trozo con la esfera. En el siguiente diagrama se muestra que una superficie de espesor $ \mathrm {d}r$ intersectando una superficie de espesor $ \mathrm {d}x$ en un ángulo de $ \theta $ tiene un área transversal de $ \mathrm {d}x\, \mathrm {d}r \sec ( \theta )$ . $ \hspace {2cm}$

Al integrar a lo largo de la rebanada cuya intersección con la esfera es un círculo de radio $r \cos ( \theta )$ el ángulo de intersección del corte con la superficie de la esfera es $ \theta $ . Así, el $ \sec ( \theta )$ desde el ángulo de la intersección es cancelado por el $ \cos ( \theta )$ del radio del círculo. Por lo tanto, $$ \begin {align} \int_ {rS^2}e^{-2 \pi i\,x \cdot\xi }\, \mathrm {d}x &= \int_ {-r}^r2 \pi re^{-2 \pi i\,t| \xi |} \mathrm {d}t \\ &= \frac {r}{-i| \xi |} \left (e^{-2 \pi i\,r| \xi |}-e^{2 \pi i\,r| \xi |} \right ) \\ &= \frac {2r}{| \xi |} \sin (2 \pi r| \xi |) \tag {1} \end {align} $$ Computando la Transformada de Fourier

Para calcular la transformación de Fourier de $ \dfrac {1}{r^2+1}$ nos integramos contra $(1)$ : $$ \begin {align} \int_0 ^ \infty\frac {2r}{| \xi |} \frac { \sin (2 \pi r| \xi |)}{r^2+1} \mathrm {d}r &= \int_ {- \infty }^ \infty\frac {r}{| \xi |} \frac { \sin (2 \pi r| \xi |)}{r^2+1} \mathrm {d}r \\ &= \frac {1}{| \xi |} \int_ {- \infty }^ \infty\frac {r \sin (r)\, \mathrm {d}r}{r^2+4 \pi ^2| \xi |^2} \\ &= \frac {1}{| \xi |} \Im\left ( \int_ {- \infty }^ \infty\frac {re^{ir}\, \mathrm {d}r}{r^2+4 \pi ^2| \xi |^2} \right ) \\ &= \frac {1}{| \xi |} \Im\left ( \int_\gamma\frac {re^{ir}\, \mathrm {d}r}{r^2+4 \pi ^2| \xi |^2} \right ) \\ &= \frac {1}{| \xi |} \Im\left (2 \pi i \operatorname {Res} \left ( \frac {re^{ir}}{r^2+4 \pi ^2| \xi |^2},2 \pi i| \xi | \right ) \right ) \\ &= \frac {1}{| \xi |} \Im\left (2 \pi i \frac {2 \pi i| \xi |e^{-2 \pi | \xi |}}{4 \pi i| \xi |} \right ) \\ &= \frac { \pi }{| \xi |}e^{-2 \pi | \xi |} \tag {2} \end {align} $$ donde $ \gamma $ es el límite del camino en el eje real desde $-M$ a $M$ seguido por el semicírculo en el medio plano superior centrado en $(0,0)$ de $M$ volver a $-M$ como $M \to\infty $ .

Por lo tanto, $$ \int_ { \mathbb {R}^3} \frac {1}{|x|^2+1}e^{-2 \pi i\,x \cdot\xi }\; \mathrm {d}x= \frac { \pi }{| \xi |}e^{-2 \pi | \xi |} \tag {3} $$

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Relación con la ecuación de Laponia

Tomando la Transformación de Fourier de $$ u(x)- \Delta u(x)=f(x) \tag {4} $$ rendimientos $$ (1+4 \pi ^2| \xi |^2) \hat {u}( \xi )= \hat {f}( \xi ) \tag {5} $$ que se convierte en $$ \hat {u}( \xi )= \dfrac {1}{1+4 \pi ^2| \xi |^2} \hat {f}( \xi ) \tag {6} $$ y tomando los rendimientos de la Transformada de Fourier inversa $$ \begin {align} u(x) &= \left ( \dfrac {1}{1+4 \pi ^2| \xi |^2} \right )^ \wedge (x) \ast f(x) \\ &= \frac {1}{4 \pi |x|}e^{-|x|} \ast f(x) \tag {7} \end {align} $$ La convolución en $(7)$ es un Integral Singular .

Answer 2

Comencemos con la segunda parte de la pregunta. Tomemos la transformación de Fourier en ambos lados de la ecuación para obtener $$ (1+| \xi |^2) \hat u( \xi )= \hat f( \xi ) \implies \hat u( \xi )= \frac {1}{| \xi |^2+1}\, \hat f( \xi ). $$ Si $K(x)$ es la transformación inversa de Fourier de $(1+| \xi |^2)^{-1}$ entonces la solución de la ecuación es $u=K \ast f$ .

La integral que quieres calcular (modulo algún factor de $ \pi $ ) es $K( \zeta )$ . Sabemos que la transformación de Fourier se desplaza con las rotaciones y por lo tanto, que la transformación de Fourier de una función radial es radial. Entonces $$ K( \zeta )=K( \zeta_1 , \zeta_2 , \zeta_3 )=K(0,0,| \zeta |). $$ Esto simplifica el cálculo de la integral (que no he realizado).