¿cuál es la relación entre los conjuntos infinitos y las órbitas de sus puntos?

Question

He estado estudiando la demostración del siguiente teorema:

Teorema: Supongamos que $X$ es un espacio métrico y $X$ es un conjunto infinito. Si $f:X\to X$ es transitiva y tiene puntos periódicos densos, entonces $f$ tiene una dependencia sensible de las condiciones iniciales.

Fue probado por J. Banks, Aquí está un enlace

Casi toda la demostración está clara, pero no consigo entender cómo es posible elegir dos puntos periódicos arbitrarios $q_{1}$ y $q_{2}$ con órbitas disjuntas $\mathcal{O}(q_{1},f)$ y $\mathcal{O}(q_{2},f)$ . Sé que esto está relacionado con el hecho de que $X$ es un conjunto infinito, ¡pero no lo veo!

Además, tengo la siguiente pregunta:

Pregunta 2: Supongamos que $q_{1},q_{2}\in Per(f)$ es decir, existe $n,m\in\mathbb{N}$ tal que $f^{n}(q_{1})=q_{1}$ y $f^{m}(q_{2})=q_{2}$ . Si $X$ es infinita o finita, que es la relación entre $\mathcal{O}(q_{1},f)$ y $\mathcal{O}(q_{2},f)$ ?.

1. $\mathcal{O}(q_{1},f)\cap \mathcal{O}(q_{2},f)\neq \emptyset$ .
2. Si $n<m$ o $n>m$ , $\mathcal{O}(q_{1},f)\subset \mathcal{O}(q_{2},f)$
3. etc,..

Llevo un par de días dándole vueltas a esta pregunta,...

Answer 1

Tomemos cualquier punto periódico $q_1$ . Su órbita es un conjunto finito, y por tanto no es denso. Así que debe haber otro punto periódico $q_2$ cuya órbita no es $\mathcal O(q_1, f)$ . Pero las órbitas de los puntos periódicos son iguales o disjuntas.