Demuestra, mediante el método de inducción matemática, que lo siguiente es cierto

Question

Para los números naturales $n\ge1$ demuestre la siguiente desigualdad utilizando la inducción.

$$n^{1/n}\le 1+\sqrt{\frac{2}{n}}$$

Answer 1

Para resolver este problema, basta con el teorema del binomio.

El caso base $n = 1$ es obviamente cierto. Entonces suponemos que $$n^{\frac1n}\le 1+\sqrt{\frac{2}{n}} \iff n \le \left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n,$$ y tratamos de demostrar $$(n+1)^{\frac1{n+1}}\le 1+\sqrt{\frac{2}{n+1}} \iff n+1 \le \left(1+\sqrt{\frac2{n+1}}\right)^{n+1}.$$

$\mathbf{Claim} \quad \left(1+\sqrt{\dfrac2n}\right)^n + 1 \le \left(1+\sqrt{\dfrac2{n+1}}\right)^{n+1}.$

Con esta afirmación, queda claro que $n+1 \le \left(1+\sqrt{\dfrac2n}\right)^n+1 \le \left(1+\sqrt{\dfrac2{n+1}}\right)^{n+1}$ así que una vez que se pruebe el reclamo, habremos terminado.

Prueba de la reclamación

Dejemos que $a_n = \left(1+\sqrt{\dfrac2n}\right)^n$ . Entonces queremos $a_n + 1\le a_{n+1} \,\forall n \in \Bbb{N}$ . Esto es un poco complicado si utilizamos el teorema del binomio y condensamos los términos de mayor potencia con un signo de suma.

\begin {split} a_n + 1&= \left (1+ \sqrt { \frac2n } \right )^n \\ &= 1 + 1 + \sqrt {2n} + \frac {n(n-1)}{2} \frac2n + \sum_ {k=3}^n \binom {n}{k} \left ( \sqrt { \frac2n } \right )^k \quad \mbox {(Aquí asumimos $n \ge 3$ )} \\ &= 2 + \sqrt {2n} + (n-1) + \sum_ {k=3}^n \binom {n}{k} \frac {( \sqrt {2n})^k}{n^k} \\ &= 1 + \sqrt {2n} + n + \sum_ {k=3}^n \frac {( \sqrt {2n})^k}{k!} \frac {n(n-1) \cdots (n-k+1)}{n^k} \\ &= 1 + \sqrt {2n} + n + \sum_ {k=3}^n \frac {( \sqrt {2n})^k}{k!} \frac {n}{n} \frac {n-1}{n} \cdots \frac {n-k+1}{n} \\ &= 1 + \sqrt {2n} + n + \sum_ {k=3}^n \frac {( \sqrt {2n})^k}{k!} 1 \left ( 1- \frac {1}{n} \right ) \cdots \left ( 1- \frac {k-1}{n} \right ) \\ &< 1 + \sqrt {2(n+1)} + n + \sum_ {k=3}^n \frac {( \sqrt {2(n+1)})^k}{k!} 1 \left ( 1- \frac {1}{n+1} \right ) \cdots \left ( 1- \frac {k-1}{n+1} \right ) \\ &= 1 + \sqrt {2(n+1)} + \binom {n+1}{2} \frac2 {n+1} + \sum_ {k=3}^n \frac {( \sqrt {2(n+1)})^k}{k!} \frac {n+1}{n+1} \frac {n}{n+1} \cdots \frac {n-k+2}{n+1} \\ &= 1 + \sqrt {2(n+1)} + \binom {n+1}{2} \frac2 {n+1} + \sum_ {k=3}^n \binom {n+1}{k} \left ( \sqrt { \frac2 {n+1}} \right )^k \\ &= \sum_ {k=0}^n \binom {n+1}{k} \left ( \sqrt { \frac2 {n+1}} \right )^k \\ &= \left (1+ \sqrt { \frac2n } \right )^n \\ &= a_{n+1} \end {split}

Lo que queda son los casos base para $n = 1$ y $n = 2$ .

\begin {split} a_1 + 1 &= 1 + 1 + \sqrt2 < 2 + 2 = 4 = \left ( 1 + \sqrt { \frac22 } \right )^2 = a_2 \\ a_2 + 1 &= 1 + \left ( 1 + \sqrt { \frac22 } \right )^2 \\ &= 1 + 1 + \sqrt2 \cdot \sqrt2 + \frac22 \\ &= 1 + \sqrt2 \cdot \sqrt2 + \left ( \frac22 + 1 \right ) \\ &< 1 + \sqrt2 \cdot \sqrt3 + 2 \\ &< 1 + \sqrt2 \cdot \sqrt3 + \binom {3}{2} \frac23 + \left ( \sqrt\frac23\right )^3 \\ &= \left (1+ \sqrt\frac23\right )^3 \\ &= a_3 \end {split}