La duda en el lema de Scheffe

Question

Al leer el "Teorema de Glivenko Cantelli" de Probability Models de K.B Athreya, el autor utilizó dos lemas para demostrarlo. Uno se llama lema de Scheffe y el otro teorema de Polya.

El lema de Scheffe es el siguiente:

Sea $f_n, f$ ser no negativo $\mu$ funciones integrables. Si $f_n \to f$ a.e y $\int f_n d\mu \to \int fd\mu$ entonces $$\int |f_n - f|d\mu \to 0$$

Mi prueba es:

Sea $g_n = |f_n -f|$ . Ahora tenemos $g_n \to 0$ a.e. Ahora $$0 \leq g_n = |f_n -f| \leq f + f_n$$ $$\Rightarrow \int g_n d\mu \leq \int fd\mu + \int f_nd\mu < \infty$$

Por lo tanto, por el teorema de convergencia dominada, $$\int g_nd\mu \to 0$$ QED.

La pregunta : Mi duda es que en esta prueba, no he utilizado que $\int f_n d\mu \to \int fd\mu$ al menos no explícitamente. Entonces, ¿es superflua esta condición?

Lo que he buscado : He buscado Scheffe en MSE, pero obtuve 3 resultados (ninguno útil) y cuando escribí Scheffe en su lugar, me dieron un resultado que no pertenecen a estos 3 que en realidad estaba en el lema de Scheffe (Aunque no es útil). Es extraño (no el resultado sino la búsqueda).

Agradecería cualquier ayuda/sugerencia al respecto. Por favor, pídame aclaraciones si es necesario.

Answer 1

Sea

$$u_n = \max\{ f, f_n\} \quad \text{and} \quad l_n = \min \{ f, f_n \}$$

para que ambos $(u_n)$ y $(l_n)$ convergen puntualmente a $f$ , $l_n \leq f \leq u_n$ y $|f - f_n| = u_n - l_n$ . Por DCT, está claro que $\int l_n \, d\mu \to \int f \, d\mu$ . así de

$$\int u_n \, d\mu = \int (f + f_n - l_n) \, d\mu ,$$

tomando $n\to\infty$ tenemos $\int u_n \, d\mu \to \int f \, d\mu$ . (Aquí se utiliza la suposición que le concierne.) Por lo tanto tenemos

$$\int |f - f_n| \, d\mu = \int u_n \, d\mu - \int l_n \, d\mu \to 0.$$

Answer 2

Observe $|f| + |f_n| - |f-f_n|\geq 0$ con el lema de Fatou $$\liminf \int |f| + |f_n| - |f-f_n| \geq 2 \int |f|$$ por la suposición $\lim \int |f_n| = \int |f|$ el lado izquierdo de la desigualdad anterior también es igual a $$\liminf \int |f| + |f_n| - |f-f_n| = 2\int |f| -\limsup \int |f-f_n|,$$ combinándolos obtenemos $$2\int |f| -\limsup \int |f-f_n|\geq 2 \int |f|$$ $$\limsup \int |f-f_n| \leq 0 .$$

Answer 3

No creo que tu "prueba" funcione. Deja que $f_{n}=n\chi[0,\frac{1}{n}]$ , $f=0$ . Entonces $f_{n}\rightarrow f$ casi en todas partes. Pero no se puede concluir que $$\int f_{n}d\mu\rightarrow 0$$ ya que es constante $1$ . Como señalaba el comentarista para aplicar el teorema de convergencia dominada se necesita una función $g$ tal que $|f_{n}|\le |g|$ y $g\in L^{1}(\Omega)$ .