pregunta sobre sigma-campos

Question

Deje que X, Y sean mapeos desde el espacio de muestra Ω a R y suponga que Y es medible con respecto a σ (X), el campo σ más pequeño que hace que X sea medible.

¿Se sigue que existe alguna función medible de Borel f: R → R tal que Y = f (X)?

Answer 1

La respuesta es sí. La prueba es bastante estándar. 1. Si Y=1_A, donde a es en \simga(X), entonces por la definición de \sigma(X), existe un conjunto de Borel B tales que a = X^{-1}(B) y por lo tanto

Y(\omega) = 1_A(\omega) = 1_B(X(\omega)) = f(X(\omega)),

donde ponemos f:= 1_B (por supuesto que f es ahora un Borel función).

2. Si ahora Y es una simple r.v. es decir, puede ser escrito en la forma Y = \sum_{i=1}^n c_i 1_{A_i}, donde A_i se establece en \sigma(X), entonces el uso del punto anterior podemos encontrar Borel funciones f_i tal que 1_{A_i} = f_i(X) y, obviamente, en este caso f = \sum_{i=1}^n c_i f_i.

3. Finalmente, cualquier r.v. Y mensurables w.r. a \sigma(X) se puede aproximar por una secuencia de simple r.v. Y_n medibles w.r. a \sigma(X), es decir, Y_n -> Y casi seguramente. Por el punto anterior, existen f_n tal que Y_n = f_n(X). Ahora podemos definir f(x) = \lim_n f_n(x) si el límite existe y poner f(x)=0 en caso contrario. Es fácil comprobar que f es una Borel función (básicamente se trata de un límite de funciones de Borel), y que Y = f(X).

Answer 2

Si R es real, sí (como ya se explicó). Pero si R es solo otro espacio de Borel, entonces quizás no.

Answer 3

Es trivial verdad pero tal vez vale la pena destacar que el inverso es también cierto - si existe tal una f, entonces Y es σ (X)-medibles.

Esto y la pregunta son 20.1(ii) Teorema de catorce probabilidad y medida, 3ª edición.