Tengo $\exp(\lambda X_t-\frac{\lambda ^2}{2}t)$ es una martingala local, ahora tengo que saber si $X_t$ también es una martingala local.
¿Alguien me puede ayudar Cómo puedo demostrar esto correctamente?
Respuesta
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Solución 1: Recordar las dos instrucciones siguientes.
Lema 1: Vamos a $(Y_t)_{t \geq 0}$ ser un supermartingale y $f$, un aumento de la función cóncava, a continuación, $(f(Y_t))_{t \geq 0}$ es un supermartingale.
Lema 2: Deje $(Y_t)_{t \geq 0}$ ser una configuración regional de martingala tal que $Y_t \geq 0$ todos los $t \geq 0$. A continuación, $(Y_t)_{t \geq 0}$ es un supermartingale.
Lema 1 es una consecuencia directa de la desigualdad de Jensen y Lema 2 se sigue de Fatou del lexema. Desde
$$M_t^{\lambda} := \exp \left( \lambda X_t - \frac{\lambda^2}{2} t \right)$$
es, por supuesto, un no-negativos local de martingala, encontramos desde Lema 2 $(M_t^{\lambda})_{t \geq 0}$ es un supermartingale. Aplicar el Lema 1 con $f(x) := \log x$, $x>0$, obtenemos que
$$f(M_t^{\lambda}) = \lambda X_t - \frac{\lambda^2}{2} t \tag{1}$$
es un supermartingale. Si $\lambda>0$, esto implica que $(X_t-|\lambda| t/2)_{t \geq 0}$ es un supermartingale. Por lo tanto,
$$\begin{align*} \mathbb{E}(X_t \mid \mathcal{F}_s) &= \lim_{\lambda \downarrow 0} \mathbb{E}(X_t- |\lambda|t/2 \mid \mathcal{F}_s) \\ &\stackrel{\ast}{\leq} \lim_{\lambda \downarrow 0} (X_s-|\lambda| s/2) = X_s \tag{2} \end{align*}$$
para cualquier $s \leq t$ donde hemos utilizado en $(\ast)$ el supermartingale propiedad de $(X_t-|\lambda|t/2)_{t \geq 0}$. Esto demuestra que $(X_t)_{t \geq 0}$ es un supermartingale. Por otro lado, para $\lambda<0$, se desprende $(1)$ que $(X_t-|\lambda| t/2)_{t \geq 0}$ es un submartingale. Utilizando el mismo razonamiento que en $(2)$ [ahora nos vamos a $\lambda \uparrow 0$ y el uso de la submartingale de propiedad en lugar de la supermartingale propiedad], nos encontramos con que $(X_t)_{t \geq 0}$ es un submartingale. En consecuencia, $(X_t)_{t \geq 0}$ es una martingala.
Solución 2: Esta solución requiere que la localización de las secuencias de los tiempos de parada puede ser elegido de forma independiente de $\lambda$, es decir, existe una secuencia de tiempos de parada $(\sigma_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que
$$M_{t \wedge \sigma_n}^{\lambda} = \exp \left(\lambda X_{t \wedge \sigma_n}- \frac{\lambda^2}{2} (t \wedge \sigma_n) \right) \tag{3}$$
es una martingala para todos los $n \in \mathbb{N}$$\lambda \in (-1,1)$. Por otra parte, suponemos que la $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene la muestra continua de caminos.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $|X_{t \wedge \sigma_n}| \leq n$; caso contrario reemplace $\sigma_n$ $\sigma_n \wedge (\inf\{ t>0; |X_t|>n\})$ (que es, por el facultativo detener teorema, siendo una de la localización de la secuencia). La martingala de la propiedad de $(M_{t \wedge \sigma_n}^{\lambda})_{t \geq 0}$ es equivalente a
$$\int_F M_{s \wedge \sigma_n}^{\lambda} \, d\mathbb{P} = \int_F M_{t \wedge \sigma_n}^{\lambda} \, d\mathbb{P}$$
para todos los $F \in \mathcal{F}_s$$s \leq t$. Diferenciando con respecto a $\lambda$, nos encontramos con que
$$\int_F (X_{t \wedge \sigma_n}-\lambda t \wedge \sigma_n) M_{t \wedge \sigma_n} \, d\mathbb{P} = \int_F (X_{s \wedge \sigma_n}-\lambda s \wedge \sigma_n) M_{s \wedge \sigma_n} \, d\mathbb{P}.$$
(Aquí, hemos utilizado la definición de $M_t^{\lambda}$, ver $(3)$, y que podemos intercambio de diferenciación y de integración debido a $|X_{t \wedge \sigma_n})| \leq n$.) La evaluación en $\lambda = 0$ muestra que
$$\int _F X_{t \wedge \sigma_n} \, d\mathbb{P} = \int_F X_{s \wedge \sigma_n} \, d\mathbb{P}.$$
Desde $s \leq t$ $F \in \mathcal{F}_s$ son arbitrarias, esto es equivalente a decir que el $(X_{t \wedge \sigma_n})_{n \in \mathbb{N}}$ es una martingala. Por lo tanto, $(X_t)_{t \geq 0}$ es una martingala local.
