¿Es una combinación de suma y producto de cualquier secuencia única?

Question

Un simple ejemplo para aclarar lo que quiero decir:

Secuencia - $\{2 , -1, 4, 2, 9 \}$ Combinación de suma y producto: $\{ 16, -144 \}$

Pregunta: ¿Es una combinación de suma y producto única para cualquier* secuencia?

• "cualquier secuencia", excepto la que está formada sólo por ceros.

UPD: La respuesta a mi pregunta inicial es "no". Gracias. Pero ¿cuál es la respuesta si nos limitamos a secuencias de la misma longitud y compuestas por enteros no negativos? ¿Existen dos o más secuencias de enteros no negativos, cada una de las cuales tiene la misma combinación {suma,producto} y la misma longitud?

UPD: Ambas respuestas son "no". Muchas gracias.

Answer 1

Digamos que tenemos una tupla finita (no un conjunto) de enteros positivos, $A = (a_1,a_2,\dotsb,a_n)$ con $\sum a_i = s$ , $\prod a_i = p$ . Consideremos la factorización primaria más sencilla $p = p_1^{n_1} \dotsb p_k^{n_k}$ y construir $B = (1,\dotsb,1,p_1,\dotsb,p_1,p_2,\dotsb,p_k,\dotsb,p_k)$ donde cada $p_i$ se produce $n_i$ veces y rellenamos con suficiente $1$ s para hacer $\sum B = s$ (¿por qué podemos hacer esto?).

La prueba de que esto produce un $B$ con elementos diferentes a $A$ en la "mayoría" de los casos se deja como ejercicio para el lector. Al igual que extenderlo al caso en que $A$ puede contener enteros negativos. En ese caso, se debe rellenar con una combinación inteligente de $1$ s y $-1$ s.

Answer 2

No en general. Conocer la suma y el producto de una secuencia $r_1, ... r_n$ sólo fija dos coeficientes del polinomio $(x - r_1)...(x - r_n) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0$ , a saber $a_0$ y $a_{n-1}$ y para $n > 2$ se pueden elegir los demás coeficientes de forma arbitraria y resolver las raíces complejas del polinomio resultante.

Con ciertas restricciones, esto podría ser posible a veces, por ejemplo si se restringe la secuencia a ser enteros.