¿Cómo puedo encontrar la relación entre las aceleraciones del anillo y el disco (ver imagen)?

Question

¿Cuál es la relación entre las aceleraciones de el anillo y el disco (ver imagen)?

Tanto el anillo y el disco de masa $M$. El anillo tiene un radio de $R$ y el disco tiene radio de $2R$. Están conectados por un poquito de cuerda inextensible. Una fuerza de $F$ actúa en el punto más alto del disco.

La pregunta en realidad pide el valor mínimo del coeficiente de fricción por rodadura sin deslizamiento a ser posible. He formulado las otras ecuaciones, utilizando el par de torsión o de las fuerzas.

Pero, me falta la relación entre la acclerations de el anillo y el disco de resolverlos (tengo 7 variables en mi actual conjunto de ecuaciones, pero sólo el 6 ecuaciones). No tengo idea de cómo se relacionan la acclerations.

También, he mirado la sugerencia en mi libro, y dice $a_{disc} = 2 a_{ring}$. No hay ninguna explicación acerca de cómo se llegó a este resultado.

Answer 1

En el momento instantáneo se muestra en el diagrama, podemos escribir: %#% $ de #% como son en el puro. Esto también nos dice que el punto en el anillo donde se une el hilo tiene un % de aceleración $$2R\alpha{ring}=a{disc}$así nos encontramos con que: $=2R\alpha{ring}=2a{ring}$ $ nota que cuando la cadena se mueve a otra posición, esto no será cierto, pero podría ser suficiente para resolver la cuestión por ahora!

Answer 2

Bien, así que me imaginé a mí mismo. He aquí lo que pienso:

Tome $P$ a ser el punto en la parte superior del anillo, donde la cadena está conectado. Ahora, dos cosas que contribuyen a $P$'s aceleración : la aceleración del centro de masa del anillo, y la aceleración debida al movimiento angular.

Por eso, $a_P = a_{ring} + \alpha \times R$ donde $\alpha$ es la aceleración angular del anillo.

Pero, la aceleración de la $P$ debe ser igual a la aceleración de la cadena, ya que están conectados. La aceleración de la cadena es la aceleración del centro de masa del disco.

Así, $$\begin{align} a_{disc} &= a_P \\ a_{disc} &= a_{ring} + \alpha \times R \\ &= a_{ring} + a_{ring} && \text{(Because the ring is in pure rolling, %#%#%)} \\ a_{disc} &= 2 a_{ring} \\ \end{align}$$

Esta de acuerdo con la sugerencia en mi libro. Me corrija si estoy equivocado.

Answer 3

Como el anillo se mueve hacia adelante, la cuerda se desenrolla de ella. Cuando el anillo se ha completado una revolución, cada punto en el que se ha movido hacia adelante por la distancia de su circunferencia. La cadena de separar por una cantidad igual a la del anillo de la circunferencia. Así, mientras que el centro del anillo se ha movido hacia adelante por un anillo de circunferencia, el final de la cadena (donde el disco se coloca en su centro) se ha movido hacia adelante por la misma distancia, más la cantidad de cuerda desenrollada, es decir, un total de 2 anillos de circunferencias. Por lo que las distancias - y por lo tanto también las velocidades y aceleraciones de anillo y el disco están en la relación de 1:2.