Si$a$ y$b$ son enteros, de modo que$9$ divide$a^2 + ab + b^2$ y luego $3$ divide tanto$a$ como$b$.

Question

Si$a$ y$b$ son enteros tales que$9$ divide$a^2 + ab + b^2$ y luego muestra que$3$ divide tanto$a$ como$b$.

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¿Alguien puede decirme por favor cómo resolver este tipo de problema? ¿Qué fórmula se requiere?

Answer 1

Cada vez que usted tiene un "$x$ divide $y$" problema, empezar diciendo que en forma modular.

$$ a^2+ab+b^2 \equiv 0 \mod 9 $$ Ahora, también podemos escribir esto como $$ a^2-2ab+b^2 \equiv -3ab \mod 9 $$ Por lo tanto, debemos tener la $(a-b)^2\equiv 0 \pmod3$, y esto sólo puede ser satisfecha si $a\equiv b\pmod 3$.

Así que vamos a $b=a+3k$ y sustituya en la ecuación original:

$$ a^2+a^2+3ak+a^2+6ak+9k^2\equiv 0 \mod 9 $$ Que puede ser simplificado a

$$ 3a^2 + 9ak + 9k^2 \equiv 0 \mod 9\\ 3a^2 \equiv 0 \mod 9\\ a^2 \equiv 0 \mod 3 $$ Y esto sólo se satisface si $a\equiv 0\pmod3$. Y debido a que $a\equiv b\pmod3$, también tenemos que $b\equiv 0\pmod3$. Así que 3 divide a $a$ y 3 divide $b$.

Answer 2

Como ha demostrado Glen, $9\mid {(a-b)^2+3ab}$

$\implies 3\mid {(a-b)^2+3ab}\implies 3\mid(a-b)^2$

$\implies 3\mid(a-b)\implies 9\mid(a-b)^2$

$\implies 9\mid3ab\implies 3\mid ab$

Pero si divide a $3$ $a,3$ debe dividir $b$ y a la inversa como $3\mid(a-b)$

Answer 3

Starter: Desde $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, y por Fermat'little teorema, podemos concluir que, en nuestra condición, $a\equiv b\pmod 3$.
Suponer lo contrario: $a, b$ son relativamente primos a $3$. Por lo $a=3k\pm1, b=3l\pm1$. A continuación,$a^2=9k^2\pm6k+1$,
$b^2=9l^2\pm6l+1$,
$ab=9kl\pm3(k+l)+1$.
Sumando juntos, podemos encontrar: $a^2+ab+b^2=9(k^2+l^2+kl\pm k\pm l)+3$, que no es divisible por $9$, una contradicción. Por lo tanto, $a$ $b$ son ambos divisibles por $3$.
Si los errores se presentan, me dicen. Gracias de antemano.

Answer 4

La divisibilidad es equivalente a $$3^2\mid 4(x^2+xy+y^2)=(2x+y)^2+3y^2$$. Since $3\mid 3y^2$ then $3\mid (2 x + y) ^ 2 $. But $(2x+y) ^2$ is a square so $3^2\mid (2x+y)^2$, implying that $3^2\mid 3y^2$, i.e. $3\mid y$. Together with $3\mid 2x+y$ we get also $3\mid x$.