Solución de una ecuación diferencial parcial.

Question

Encontrar $u=u(x,y)$ satisfacción $$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6xy, \,\,\,u(0,y) = y, \,\,\,\dfrac{\partial u}{\partial x}(1,y)=0.$ $

He tratado por laplace transformación $$ \displaystyle s ^ 2\bar {u}(s,y)-su(0,y)-\frac {\partial u} {\partial x}(0,y) = \frac{6y}{s^2} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \bar{u}(s,y) = sy + \frac {6y} {s ^ 2} + \frac {\partial u} {\partial x}(0,y). $$

Por favor dígame cómo proceder.

Answer 1

Integrando dos veces con respecto a los $x$ obtenemos que $$ \frac{\partial^2 u} {\partial x ^ 2} = 6xy\quad\Longrightarrow\quad u (x, y) = f_1 (y) + x\, f_2 (y) + x ^ 3y. $$ La incorporación de los datos iniciales obtenemos que $$ y=u(0,y)=f_1(y) y $$ $$ 0 = \frac {\partial u} {\partial x}(1,y) = f_2 (y) +3y \quad\text{thus}\quad f_2 (y) = 3y. $$ Finalmente la única solución del problema de valor inicial es de u $$ (x, y) = y-3xy + x ^ 3y. $$

Answer 2

No puede utilizar la transformación de Laplace para resolver problemas de valor de límite, ya que no tiene información de $u_x(0,y)$. De hecho, este problema puede ser resuelto por integración directa con respecto a $x$. Precisamente, si: %#% $ #% entonces mediante el uso de integración parcial:

$$u_{xx} = 6xy,$$

Las condiciones de límite se aplican ahora para obtener el % de funciones arbitrarias $$u_x = 3x^2y + f(y) \Rightarrow u(x,y) = x^3 y+ x f(y) + g(y).$y $f(y)$.

¡Saludos!