Nota sobre homomorfismos de anillos de matrices Anillos

Question

Supongamos que $\mathbb{F}$ es un campo, y sea $\mathbb{M}_{t}\left( \mathbb{F}\right) $ sea el anillo de matrices de orden $t$ en $\mathbb{F}$ .

¿Existe un homomorfismo de anillo no trivial de $\mathbb{M}_{n+1}\left( \mathbb{F}\right) $ a $\mathbb{M}_{n}\left( \mathbb{F}\right) $ ?

Answer 1

$M_{n+1}(\mathbb F)$ es simple, por lo que un homomorfismo de anillo no trivial de $M_{n+1}(\mathbb F)$ es un isomorfismo sobre su imagen. Sea $N\in M_{n+1}(\mathbb F)$ sea una matriz nilpotente de orden $n+1$ . Entonces la imagen de $N$ bajo un isomorfismo es también nilpotente de orden $n+1$ pero $M_n(\mathbb F)$ no contiene tales elementos.