Paramétrico para cartesiano de conversión

Question

1. $x= t^2-t, y=t^3-2t^2+t $
2. $x= 1-\sin t, y=\cos t(1-\sin t)$

Encontrar las ecuaciones cartesianas.

Para 1, he a$x=t(t-1), y=t(t-1)^2$, $y/x= t-1$ y $t=(y/x)+1$. $x=(y^2+xy)/x^2$, a continuación,$x=(y^2+xy)^{1/3}$. Hay una solución explícita?

Para 2, he a $t= \sin^{-1}(1-x)$ $$y=\cos(\sin^{-1}(1-x))(1-\sin(\sin^{-1}(1-x)))= x^{3/2}(2-x)^{1/2}.$ $ Es esto correcto ?

Answer 1

Uno podría hacer que la resolución de la segunda pregunta un poco menos exasperante por escrito

$$\sin t \ = \ 1 - x \ \ \Rightarrow \ \ \cos t \ = \ \sqrt{1 - ( 1 - x )^2} \ = \ \sqrt{2x - x^2} $$

$$\Rightarrow \ \ y \ = \ \sqrt{2x - x^2} \ \cdot \ x \ , $$

etc. El resultado no parece ser la correcta.

Answer 2

Obviamente, a partir de la ecuación de segundo grado en t, tenemos $t=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4x}}2$ : conéctalo a $\dfrac yx=t-1$ para obtener una solución explícita para $y=f(x)$. El segundo punto también es correcto.

Answer 3

Para la solución explícita para el primero que se podría utilizar la fórmula cuadrática:

$$y^2 + xy - x^3 = 0 \to y = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 + 4 x^3}}{2} = x \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}.$$