Es posible tener dos variables aleatorias independientes X,Y con idéntica distribución, de tal manera que $X-Y \sim \text{Uniform}[a,b]$? Estoy casi seguro de que no lo es, pero tal vez estoy con vistas a algo?
Respuesta
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Suponga que $X$ $Y$ son yo.yo.d. y que $Z=X-Y$ es distribuido uniformemente en $(a,b)$.
A continuación, $(Y,X)$ es distribuido como $(X,Y)$ por lo tanto $Y-X$ es distribuido como $X-Y$. Desde $Y-X=-Z$ es distribuido uniformemente en $(-b,-a)$, esto demuestra que $(a,b)=(-b,-a)$. Por lo tanto $a=-b$ y la función característica $\varphi_Z$ $Z$ es tal que $\varphi_Z(t)=\sin(bt)/(bt)$ por cada $t$.
Por la independencia de $X$ y $Y$, $E(\mathrm e^{\mathrm itZ})=E(\mathrm e^{\mathrm itX})E(\mathrm e^{-\mathrm itY})$. Además, desde el $Y$ es distribuido como $X$, $\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_X(-t)=|\varphi_X(t)|^2\geqslant0$ para cada $t$. Pero $\varphi_Z(\pi/b)=-1/\pi\lt0$, lo cual es absurdo.
