Evaluación de $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ( \pi \cos(x) )}{x \sin x}$ utilizando una aproximación de Taylor

Question

Calcula el límite: $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ( \pi \cos(x) )}{x \sin (x)}$$ utilizando una aproximación de Taylor

Me parece muy intuitivo utilizar una aproximación de Taylor para este tipo de problemas, ya que los valores de $x$ se vuelven arbitrariamente pequeños.

Mi enfoque (mal):

$$\cos (x)= 1 - \frac{x^2}{2}+O(x^4) \implies \pi \cos (x)= \pi - \frac{\pi x^2}{2}+ \dots \\ \sin (x) = x - \frac{x^3}{6}+O(x^6)$$ Mi problema ahora es calcular $\sin ( \pi \cos (x))$ . Uno de mis tutores me dijo una vez que para valores pequeños de $x$ Siempre puedo usar $\sin (x) \sim x$ por lo que pensé que lo siguiente debía ser cierto también para valores pequeños de $x$ : $$\sin (\pi \cos (x))= \sin\left(\pi - \frac{\pi x^2}{2}+ \dots \right) \sim \pi - \frac{\pi x^2}{2}+ \dots$$

Lo cual es efectivamente muy erróneo, la respuesta correcta es: $$\sin (\pi \cos (x))\sim \frac{\pi x^2}{2}\pm O(x^4)$$

Aunque me parece claro que mi respuesta no puede ser cierta, (Lo hice enchufando ingenuamente los valores y obtuve el mismo resultado que ya tenía para $\pi \cos (x)$ ) No veo cómo se obtiene el resultado anterior. ¿Podría alguien mostrarme cómo procesar correctamente de esa manera?

Nota : En clase aún no se nos ha presentado el $O$ -Notación. En el libro de C.T. Michaels se limita a utilizar puntos para los términos superiores y dice que se pueden despreciar. He intentado incluir los $O$ -Notación en mi pregunta, pero sólo con mi comprensión intuitiva de la misma.

Answer 1

Has hecho todo casi bien; el problema es que

$$\sin {(\pi - \frac{\pi x^2}{2})} \nsim \pi - \frac{\pi x^2}{2}$$ ¡porque el argumento del pecado no llega a cero! (va a $\pi$ !)

La forma correcta de hacerlo es

$$\sin {(\pi - \frac{\pi x^2}{2})} = \sin {\frac{\pi x^2}{2}} \sim \frac{\pi x^2}{2}$$

(porque $\sin(\pi - x) = \sin x$ ); nótese que esta vez el argumento del pecado realmente llega a cero

Answer 2

SUGERENCIA:

Podemos evitar la expansión de Taylor de la siguiente manera

Como $\sin(\pi-y)=\sin y$

$\sin(\pi\cos x)=\sin\{\pi-\pi\cos x\}=\sin\{\pi(1-\cos x)\}$

Answer 3

Su enfoque fracasó, porque usted no son introduciendo valores pequeños en $\sin x$ : está introduciendo valores cercanos a $\pi$ .

Para utilizar ese enfoque, es necesario utilizar una identidad para transformar el problema en uno en el que son enchufando algo pequeño en $\sin$ .

Por cierto, formalmente, tenemos (como $x \to 0$ ):

$$\sin x = x + O(x^3)$$

Y también

$$(\pi - \frac{\pi}{2} x^2 + O(x^4))^3 = (\pi + O(x))^3 = \pi^3 + O(x)$$ así que lo que has enchufado da

$$\begin{align}\sin(\pi \cos x) &= \sin(\pi - \frac{\pi}{2} x^2 + O(x^4)) \\ &= \pi - \frac{\pi}{2} x^2 + O(x^4) + O(\pi^3 + O(x)) = O(\pi^3) \end{align}$$ que es una aproximación particularmente inútil.

Answer 4

Una pista:

$sin( \pi cos(x) )\approx \frac {\pi }{2}x^2 -\frac {\pi}{24} x^4 +\frac {\pi -15\pi^3} {720}x^6 +O(x^8)$