Los subgrupos de ${\rm PSL}(2,q)$ para las primeras potencias $q$ fueron clasificados por Dickson en 1901. Puede encontrar las listas y pruebas en el libro alemán de Huppert "Endliche Gruppen I". Por supuesto, se necesitan los subgrupos de ${\rm PGL}(2,p)$ que es el doble de grande, y luego hay que comprobar sus imágenes inversas en ${\rm GL}(2,p)$ para la irreductibilidad. ¡Así que tienes trabajo que hacer!
Intentaré enumerar los grupos irreducibles mínimos, pero es un poco complicado y puede que no lo haga del todo bien.
-
Para los primos Impares $r$ dividiendo $p+1$ el grupo cíclico de orden $r$ .
-
El grupo cíclico de orden $2^r$ , donde $2^{r-1}$ es la mayor potencia de 2 que divide $p-1$ .
-
El grupo diédrico de orden $2r$ para los primos Impares $r$ dividiendo $p-1$ .
Creo que eso es todo cuando $p \equiv 3 \pmod 4$ . (Ese caso es más sencillo, porque todos los elementos de orden 4 actúan de forma irreducible). Es más complicado cuando $p \equiv 1 \pmod 4$ . En ese caso, también se obtiene:
-
El grupo diédrico $D_8$ .
-
El grupo de cuaterniones $Q_8$ .
-
Para los primos Impares $r$ dividiendo $p-1$ , un grupo de orden $4r$ contenida en ${\rm SL}(2,p)$ .
-
Esto es lo complicado. Después de hacer algunos cálculos con $p=17$ Creo que para todos los poderes $2^r$ dividiendo $p-1$ con $r \ge 3$ existe un grupo no abeliano de orden $2^{r+1}$ intersectando el subgrupo escalar de orden $2^{r-1}$ .
Aquí hay un poco más de información sobre los métodos utilizados. Los subgrupos máximos de ${\rm GL}(2,p)$ (con $p$ primo) son los grupos imprimibles de orden $2(p-1)^2$ los grupos semilineales de orden $2(p^2-1)$ grupos cuya intersección con ${\rm SL}(2,p)$ es una cubierta doble de $A_4$ , $S_4$ o $A_5$ y los grupos que contienen ${\rm SL}(2,p)$ . Desde ${\rm SL}(2,p)$ nunca es mínimamente irreducible, podemos olvidarnos de eso, y los que implican $A_4$ , $S_4$ o $A_5$ todos tienen un subgrupo normal irreducible $Q_8$ que a su vez es imprimible y/o semilineal, por lo que podemos olvidarnos de ellas.
Así que podemos restringir la atención a los subgrupos imprimibles y semilineales. Los semilineales máximos tienen un subgrupo cíclico de orden $q^2-1$ que actúa de forma irreducible pero no absolutamente irreducible, y no es difícil ver que sus subgrupos mínimos irreducibles son los de las clases 1 y 2 anteriores.
Así que queda encontrar los subgrupos mínimos irreducibles de los subgrupos máximos imprimibles. Estos son todos conjugados, y uno de ellos, $H$ por ejemplo, consiste en las matrices monomiales, por lo que podemos buscar simplemente subgrupos de $H$ . Así que el grupo $D$ de matrices diagonales tiene índice 2 en $H$ y es reducible. Así que un mínimo irreducible $K$ tendrá un subgrupo de $D$ del índice 2. Si $|K \cap D|$ es impar, entonces obtén los grupos de la clase 3 anterior. Como he señalado antes, si $p \equiv 3 \pmod 4$ , entonces los elementos de orden 4 actúan como irreducibles, y cualquier otro subgrupo de este tipo tendría un elemento de orden 4, por lo que no sería mínimo irreducible. Pero es más complicado cuando $p \equiv 1 \pmod 4$ .
