Subgrupos irreductibles de $\text{GL}(2,p)$

Question

Me pregunto si hay alguna fuente que proporcione la lista de todos los subgrupos mínimos irreducibles de $\text{GL}(2,p)$ . Aquí el término "mínimo" significa que no hay ningún subgrupo propio que sea irreducible. Una lista de subgrupos máximos de $\text{PSL}(2,p)$ está disponible aquí . Para algún caso, es fácil saber que el subgrupo es reducible, pero en general no estoy seguro de cómo sacar información de aquí. Creo que sería bueno si hay alguna referencia que proporciona una lista completa de todos los subgrupos irreducibles.

Creo que primero tenemos que conocer todos los subgrupos máximos de $\text{GL}(2,q)$ . Desde $\text{GL}(2,q)'=\text{SL}(2,q)$ por lo que un subgrupo máximo $M$ de $\text{GL}(2,q)$ contiene $Z$ o $\text{SL}(2,q)$ . Si $M>Z$ , entonces miramos los subgrupos de $\text{PGL}(2,q)$ ; si $M>\text{SL}(2,q)$ , entonces miramos los subgrupos de $\text{PSL}(2,q)$ . Entonces lo siguiente es que si sabes que un grupo es irreducible, ¿cómo analizas la irreducibilidad de sus subgrupos? Ya que a veces no me parece claro que cómo actúa el subgrupo en el espacio de vectores. Y tampoco tengo muy claro cómo encontrar los subgrupos críticos, es decir, el mínimo. ¿Tenemos algún truco para tratar esto?

Answer 1

Los subgrupos de ${\rm PSL}(2,q)$ para las primeras potencias $q$ fueron clasificados por Dickson en 1901. Puede encontrar las listas y pruebas en el libro alemán de Huppert "Endliche Gruppen I". Por supuesto, se necesitan los subgrupos de ${\rm PGL}(2,p)$ que es el doble de grande, y luego hay que comprobar sus imágenes inversas en ${\rm GL}(2,p)$ para la irreductibilidad. ¡Así que tienes trabajo que hacer!

Intentaré enumerar los grupos irreducibles mínimos, pero es un poco complicado y puede que no lo haga del todo bien.

1. Para los primos Impares $r$ dividiendo $p+1$ el grupo cíclico de orden $r$ .

2. El grupo cíclico de orden $2^r$ , donde $2^{r-1}$ es la mayor potencia de 2 que divide $p-1$ .

3. El grupo diédrico de orden $2r$ para los primos Impares $r$ dividiendo $p-1$ .

Creo que eso es todo cuando $p \equiv 3 \pmod 4$ . (Ese caso es más sencillo, porque todos los elementos de orden 4 actúan de forma irreducible). Es más complicado cuando $p \equiv 1 \pmod 4$ . En ese caso, también se obtiene:

1. El grupo diédrico $D_8$ .

2. El grupo de cuaterniones $Q_8$ .

3. Para los primos Impares $r$ dividiendo $p-1$ , un grupo de orden $4r$ contenida en ${\rm SL}(2,p)$ .

4. Esto es lo complicado. Después de hacer algunos cálculos con $p=17$ Creo que para todos los poderes $2^r$ dividiendo $p-1$ con $r \ge 3$ existe un grupo no abeliano de orden $2^{r+1}$ intersectando el subgrupo escalar de orden $2^{r-1}$ .

Aquí hay un poco más de información sobre los métodos utilizados. Los subgrupos máximos de ${\rm GL}(2,p)$ (con $p$ primo) son los grupos imprimibles de orden $2(p-1)^2$ los grupos semilineales de orden $2(p^2-1)$ grupos cuya intersección con ${\rm SL}(2,p)$ es una cubierta doble de $A_4$ , $S_4$ o $A_5$ y los grupos que contienen ${\rm SL}(2,p)$ . Desde ${\rm SL}(2,p)$ nunca es mínimamente irreducible, podemos olvidarnos de eso, y los que implican $A_4$ , $S_4$ o $A_5$ todos tienen un subgrupo normal irreducible $Q_8$ que a su vez es imprimible y/o semilineal, por lo que podemos olvidarnos de ellas.

Así que podemos restringir la atención a los subgrupos imprimibles y semilineales. Los semilineales máximos tienen un subgrupo cíclico de orden $q^2-1$ que actúa de forma irreducible pero no absolutamente irreducible, y no es difícil ver que sus subgrupos mínimos irreducibles son los de las clases 1 y 2 anteriores.

Así que queda encontrar los subgrupos mínimos irreducibles de los subgrupos máximos imprimibles. Estos son todos conjugados, y uno de ellos, $H$ por ejemplo, consiste en las matrices monomiales, por lo que podemos buscar simplemente subgrupos de $H$ . Así que el grupo $D$ de matrices diagonales tiene índice 2 en $H$ y es reducible. Así que un mínimo irreducible $K$ tendrá un subgrupo de $D$ del índice 2. Si $|K \cap D|$ es impar, entonces obtén los grupos de la clase 3 anterior. Como he señalado antes, si $p \equiv 3 \pmod 4$ , entonces los elementos de orden 4 actúan como irreducibles, y cualquier otro subgrupo de este tipo tendría un elemento de orden 4, por lo que no sería mínimo irreducible. Pero es más complicado cuando $p \equiv 1 \pmod 4$ .