Demostrar homotopy la equivalencia de los dos espacios

Question

Cómo puedo probar que $[S^{1} \times D^{2}]/S^{1} \times S^{1}$ es homotopy equivalente a $S^{2} \vee S^{3}$? Hasta el momento me han demostrado que, a $S^{2} \vee S^{3} \cong S^{3}/S^{1}$ Además, la aplicación de ese $D^{3}/S^{2}$ $S^{3}$ son homeomórficos puede conducir a una conclusión correcta, pero no puedo ver lo que está sucediendo en $S^{1} \times D^{2}$ después de aplastar $S^{1} \times S^{1}$

Answer 1

Considere la posibilidad de un sólido torus $T$ normalmente, incrustado dentro de $S^3$. Si usted contrato en $S^3$ el límite de $T$, y su exterior a un punto, se obtiene un espacio que es la misma cosa que el resultado de la contratación de los límites de $T$ a un punto, que es una manera de describir a $(S^1\times D^2)/(S^1\times S^1)$.

Desde el cierre del complemento de $T$ $S^3$ es sólo otra forma estándar incrustadas toro, este espacio es homeomórficos a$S^3/T$, y esto tiene el mismo homotopy tipo como $S^3/S^1$ (sólo espesar la $S^1$, de modo que se convierte en $T$) y dices que sabes por qué $S^3/S^1$ tiene el homotopy tipo de $S^2\vee S^3$, por lo que se hace.

Answer 2

Bien, voy a dar a este un disparo a pesar de que podría ser un poco difícil de explicar, sin imágenes. Tal vez piensen $S^1\times D^2$ como un cilindro sólido y tener en cuenta que la parte superior e inferior son identificados. Ahora vamos a pensar a través de la quotienting a cabo por la $S^1\times S^1$ paso por paso. En primer lugar, vamos a identificar los límites de los círculos de la parte superior y la parte inferior del cilindro, cada uno a un punto (vamos a identificar juntos más adelante). Lo que sucede? Bien, ahora tenemos estas pequeñas $S^2$ burbujas en la parte superior e inferior ya que ambos son $D^2$s y nos quotiented a cabo por los límites. Seguro, hay dos esferas allí, pero que está siendo identificado por lo que en el cociente solo habrá un $S^2$. Lo que queda ahora es el resto de la botella. Bien ahora nos lo hizo ver menos cilíndrica y más como una bola solida y se modding a cabo por la frontera. Lo $D^3/\partial D^3$? S^3! Así que tenemos que $S^3$ forma de cuña con una copia de $S^2$ después de la identificación.

Espero que esto al menos hizo un poco de sentido. Yo no soy fanática de la tecnología suficiente para hacer buenas fotos aquí :/