Prueba $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ siempre es positivo para el real $x$

Question

Así que me aburría en clase y decidió gráfica de polinomios en geogebra, me di cuenta de que $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$, están todas por encima del eje x.

Ahora me estoy preguntando si es posible demostrar que estos polinomios (o tal vez el primero) están por encima del eje x sin encontrar los puntos estacionarios. (Pregunto esto ya que no puedo resolver ecuaciones cúbicas sin newtons método).

También estoy preguntando que si cada polinomio que tiene el formato anterior, que comienza con un número va a poder ser por encima del eje x.

Answer 1

$n$ Impar:

• Si $x\neq 1$: $$ 1 + x + \cdots + x ^ {n-1} = \frac{x^n-1}{x-1}\neq 0 $$
• if $x=1$: $$1+x+\cdots+x^{n-1}=n> 0$$

Ya que es una función continua, el teorema del valor intermedio concluye que es $>0$.

Answer 2

Resulta que cualquier polinomio o función racional que siempre es positivo se puede escribir como una suma de cuadrados.

por ejemplo,

$$ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \left(\frac{x^2 + x}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{x + 1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{x^2}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 $$

Ay, no sé, de cualquier manera sistemática para determinar cómo venir para arriba con una representación, aunque esto es fácilmente extendido para el particular de la familia de polinomios usted está interesado en.

Answer 3

La ecuación polinómica $x^n-1=0$ tiene n raíces complejas, uno de los cuales es, sin duda $1$, y, si n es par, entonces es $-1$. Pero si se divide el polinomio con $x-1$ para las impares de n, que la raíz que es $1$ desaparece. Y si ya se enseñó a los números complejos en la clase, entonces usted ya sabe por ahora que las complejas soluciones a $x^n=a$ forma regular de n lados del polígono de radio $\sqrt[n]a$, centrada en el origen. Ahora, para $n=3$, tenemos un triángulo equilátero con una punta en $x=1$, y los otros dos consejos, obviamente, no en el eje real. El mismo para $n=5$, (donde tenemos un pentágono regular), y para todos los demás valores impares de n así. Así que todas las otras raíces, a excepción de $x=1$, lo que hemos eliminado a través de la división de polinomios no son reales. Véase la n-ésima raíz y/o cyclotomic polinomio para obtener más detalles.

Answer 4

$$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left(x^2+x+1+\frac1x+\frac1{x^2}\right)$$

$$=x^2\left[\left(x+\frac1x\right)^2-\left(x+\frac1x\right)+1\right]$$

Ahora de verdad $y,$ % $ $$y^2-y+1=\left(y-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34$

Answer 5

Para el primero de ellos, un enfoque más elemental sería:

$$\begin{align}x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 &= x^2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}x^2 + x + 1\\ &\ge\frac{1}{2}\left((x+1)^2 + 1\right)\\ &\ge \frac{1}{2}\\ &> 0 \end {Alinee el} $$