Suma De Simplificación

Question

Estoy intentando resolver un problema que se me planteó a mí mismo, pero no puedo averiguar cómo simplificar la solución de los "sucios" estado en el que existe actualmente. Mi experiencia en las matemáticas aún no contiene cálculo o estudios relacionados, por lo que es bastante probable que no existe es una simple fórmula o teorema que se puede aplicar es que yo no sé. Sé que la solución (porque de Wolfram Alpha), pero estoy interesado en la determinación de cómo resolverlo, y problemas similares a medida que se presentan, por mí mismo. La expresión es:

$n+\displaystyle\sum\limits_{a=0}^{n-1}a\cdot2^{n-a-1}$

Esto es igual a $2^n-1$, según Wolfram Alpha. ¿Cómo puedo llegar a esa solución? Agradezco enormemente cualquier ayuda me puedes proporcionar en este problema. Gracias por su tiempo y por cualquier ayuda que puede dar.

Answer 1

En su suma, el término con $a=0$$0$. Sacar el factor común $2^{n}$. Y deje $n=10$, para la concreción. Así queremos encontrar la suma $$S=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots +\frac{9}{2^{10}},$$ el uso de un "general" método. Multiplicar $S$$2$. Tenemos $$2S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{9}{2^{9}}.$$ Escribir la expresión para $S$ bajo la expresión de $2S$, pero empujado hacia adelante por uno, para que los denominadores de la línea de muy bien. Entonces los numeradores son compensados por $1$. Restar. Tenemos $$2S-S=S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^9}-\frac{9}{2^{10}}.$$ Tenga en cuenta que todo, pero el último término es una serie geométrica finita. Me imagino que usted sabe cómo encontrar una forma cerrada expresión. Si no, una versión más simple de la misma truco de hacerlo.

Ahora que usted sabe lo que está pasando, repita el procedimiento para general $n$, y simplificar al gusto.

Comentario: $1.$ no era necesario deshacerse de la $2^n$. De hecho, las cosas se ven mucho mejor si no: No denominadores! Estoy en retrospectiva muy infeliz acerca de cómo deshacerse de él. Repito mi argumento uso de $T=1\cdot 2^n+2\cdot 2^{n-1}+3\cdot 2^{n-2}+\cdots +(n-1)\cdot 2^0$. Es un poco más bonito.

$2.$ Tenga en cuenta que este es un pariente lejano de los llamados de Gauss truco para encontrar la suma de $1+2+3+\cdots +100$. La misma idea funciona para una suma de la forma $\sum_1^{n-1} kx^{k-1}$ si $x\ne 1$. Usted puede adaptar la idea para lidiar con $\sum_1^{n-1}k^2 x^k$, y otros relacionados con las sumas.

Answer 2

Se puede resolver mediante la división de la suma y la aplicación de la fórmula para la serie geométrica $$\sum_{i=0}^n q^i = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$ con $q=2$ dos veces en el resultado: \begin{align} \sum_{a=1}^{n-1} a 2^{n-a-1} &= 1\cdot 2^{n-2} + 2\cdot 2^{n-3} + \cdots + (n-1) 2^0 \\ &=(2^{n-2} + \cdots + 2^0) + ( 2^{n-3} + \cdots + 2^0) + (2^{n-4} \cdots + 2^0) + \cdots + (2^0)\\ &=(2^{n-1} -1) + (2^{n-2} -1) + \cdots + (2^1 - 1)\\ &=(2^{n-1} + 2^{n-2} + \cdots + 2^1) - (n-1)\\ &=(2^{n} - 2) - (n-1)\\ &=2^{n} - 1 - n\\ \end{align} Ahora agregue $n$ a ambos lados.

Answer 3

La prueba es por inducción, para $n=1$ es cierto, que se supone que es verdadera para $n$ y demostrar que esto implica es cierto para $n+1$ \begin{align*} n+1+ \sum_{a=0}^n a \cdot 2^{n-a} &=n +1 +2 \cdot \left(\sum_{a=0}^{n-1} a \cdot 2^{n-a-1}\right)+ n\\ &= 2 (2^n-1)+1\\ &=2^{n+1} -1 \end{align*}

Answer 4

Sugerencia: Trate de escribir las potencias de dos en binario, luego resumir los términos empezando por el menos significativo binario parte y echar un vistazo a las prórrogas. Pruebe algunos específicos, pequeño $n$ primera.