$f_x(x,y)=f_y(x,y)$ todos los $(x,y)\in\mathbb{R}^2 \iff f(x,y)=f(0,x+y)$

Question

Deje $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ ser continuamente diferenciable. Yo quiero probar: $f_x(x,y)=f_y(x,y)$ todos los $(x,y)\in\mathbb{R}^2 \iff f(x,y)=f(0,x+y)$ todos los $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

Para este <= dirección tengo que derivado de f y calcular el $f_x(x,y)$$f_y(x,y)$, pero no estoy seguro de cómo calcular el $f_x(0,x+y)$ por ejemplo. ¿Qué es $f_x(0,x+y)$?.

Cómo probar esto => dirección? Tal vez tengo que integrar, pero no sé cómo hacerlo exactamente aquí:(

Answer 1

Fijar un determinado $(x,y)$ y considere la función $$w(\lambda) = f(y-\lambda , x+\lambda)$$

Luego, por la regla de la cadena $$w'(\lambda) = -f_x(y-\lambda,x+\lambda)+f_y(y-\lambda,x+\lambda) = 0$$ por la condición de que usted especifique. Por lo tanto, $w$ es constante, y por ejemplo, $$f(x,y) = \underbrace{w(0) = w(y)}_{w \text{ const.}} = f(0,x+y)$$ como se desee.

Para más información sobre esto, vea la información sobre la ecuación de transporte. Es un ejemplo típico de un lineal de la ecuación diferencial parcial y hay una multitud de maneras de entender y resolver; esto ha sido sólo uno de ellos.

Answer 2

$f$ es una solución de la ecuación diferencial parcial $$ u_x-u_y=0, $$ así que puede ser escrita en la forma $$ f(x,y)=g(x+y), $$ para algunos la función $g$, y la demanda de la siguiente manera.