¿El conjunto de $\mathbb{Z}$ satisfacer el axioma de completitud?

Question

El Axioma de Completitud de los estados:

Un conjunto $\mathcal{A}$ satisface el Axioma de Completitud si para cada uno de sus no-trivial y delimitada subconjuntos, un supremum existe en $\mathcal{A}$.

Si este es el comunicado de la integridad axioma luego no implica que el conjunto de $\mathbb{Z}$ también satisface el axioma? (Porque uno puede encontrar fácilmente un supremum de un no-trivial subconjunto de $\mathbb{Z}$.)

Pero luego he leído en algún lugar que $\mathbb{R}$ es el único campo que está completa y si existe otro campo de satisfacer el axioma, entonces es isomorfo al campo $\mathbb{R}$ . Me parece que no puede entender esto claramente. ¿Significa esto que la $\mathbb{R} \cong \mathbb{Z}$? A donde voy mal?

Answer 1

Sí, el conjunto ordenado $(\mathbb Z,\le)$ es de hecho un pedido completo. Cada subconjunto acotado tiene un supremum y infimum.

Tenga en cuenta que también se $(\mathbb N,\le)$ tiene la misma propiedad. Hay por lo menos y la última si un conjunto es acotado.

Sin embargo ni $\mathbb N$ ni $\mathbb Z$ son campos. El número de $2$ es en ambos, pero $\dfrac12$ se encuentra en ninguno de los dos.

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El axioma de completitud es acerca de los pedidos. Hay muchos pedidos que están completas. Incluso no tiene que ser lineal, que puede ser parcial conjuntos ordenados igual de bien (tenga en cuenta que $P(\mathbb N)$ como un juego de poder se completa con arreglo a $\subseteq$ en una manera muy similar).

El hecho al que usted se refiere es que $\mathbb R$ es el único (hasta el isomorfismo) ordenó campo que es el fin de completar. Por lo tanto, cualquier no isomorfos de orden que es completa no puede ser el fin de un campo (es decir, no podemos definir la suma y la multiplicación en un camino en el que juega bonito, con el fin de)

Answer 2

$\mathbb{Z}$ satisface el axioma de completitud.

Sin embargo, sus elementos no tienen inversos multiplicativos (con la excepción de$1$$-1$), por lo que no es un campo.