Resolver un sistema de ecuaciones no lineales: $2(a-b)=29+4ab$, $2(c-b)= 11+4bc$, $2(c+a) = 9-4ac$

Question

Así que he resuelto este sistema de ecuaciones: $$\begin{array}{lcl}2(a-b) & =& 29+4ab \\2(c-b)& = & 11+4bc \\2(c+a) & = & 9-4ac\end{array}$$

por simplemente a resolver para cada variable en términos de los otros, por separado y conectarlos a las otras ecuaciones. Se vuelve tedioso y yo no quería sentarse con esto $40$ min en un examen. Es allí cualquier manera eficiente para resolver un sistema como este?

Answer 1

Es $$(2a+1)(2c+1)=10,$$ $$(2b-1)(2c+1)=-12$$ and $$(2a+1)(2b-1)=-30.$$

El resto es liso: $$(2a+1)^2(2c+1)^2(2b-1)^2=3600,$$ lo que da $$(2a+1)(2c+1)(2b-1)=60$$ or $$(2a+1)(2c+1)(2b-1)=-60.$$ Si $(2a+1)(2c+1)(2b-1)=60$ a continuación, se obtiene:

$2a+1=\frac{60}{-12}$, $2c+1=\frac{60}{-30}$ y $2b-1=\frac{60}{10}$, que es $a=-3$, $b=\frac{7}{2}$, $c=-\frac{3}{2}$.

Si $(2a+1)(2c+1)(2b-1)=-60$, entonces el trabajo es similar

y obtenemos la respuesta: $$\left\{\left(-3,\frac{7}{2},-\frac{3}{2}\right),\left(2,-\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}$$

Answer 2

No debe tomar mucho tiempo, incluso por la fuerza bruta. A partir de la 1ª ecuación:

$$ (4a+2)b = 2a - 29 \;\;\ffi\;\; b = \frac{2a-29}{4a+2} $$

A partir de la 3ª ecuación:

$$ (4a+2)c = 9 - 2a \;\;\ffi\;\; c = \frac{9-2a}{4a+2} $$

Sustituir la anterior en la 2ª ecuación y obtener un buen cuadrática en $a$ con soluciones reales.