Demostrando $e^{-x}+\cos x=c$ tiene una solución en $[0,\infty)$

Question

Deje $f(x)=e^{-x}+\cos x$ ser una función. He demostrado que los $\inf f([0,\infty))=-1$. Ahora tengo que demostrar que para todos los $-1<c<2$ existe una solución de la ecuación $f(x)=c$ en el intervalo de $[0,\infty)$.

He intentado utilizar el teorema del valor intermedio, pero se mantiene sólo para los intervalos cerrados. Entonces pensé que tal vez es suficiente para demostrar la declaración para algunos intervalo cerrado contenido en $[0,\infty)$, sin embargo, luego tuve un problema con $c$ que puede ser arbitraria cerca de $-1$ y, al mismo tiempo, $f(x) \neq -1$ todos los $x$. Alguna sugerencia?

Answer 1

$f((2k+1)\pi)$ $k\in\mathbb{N}$ enfoques $-1$ tan rápido que para cualquier $c\in(-1,2)$ se puede aplicar el teorema del valor intermedio para el intervalo de $$ \left[0, \pi(2k+1)\right]$$ para algunos $k$ que sólo depende de $c+1$.

Answer 2

Creo que estamos en el camino correcto aquí. Parece que su principal problema es que usted está tratando de arreglar un único intervalo y utilizarlo para cada $c$. Como usted ha dicho, eso es un problema, porque $c$ puede ser arbitrariamente cerca de $-1$, lo que para cualquier fijo intervalo, habrá algunos $c \in (-1, 2)$ que no puede manejar.

Sin embargo, está permitido dejar el intervalo dependen de $c$. Trate de experimentar en esa dirección.