Espacio vectorial Trivial con Doble

Question

Cómo construir un Espacio Vectorial $E$ (no triviales) de tal manera que, la única continuo lineal funcional en $E$ es la función de $f=0$?

Answer 1

En adición a lo Asaf ha escrito: Hay no-trivial topológicos, espacios vectoriales con los no-trivial de las topologías que tienen un trivial dual. Creo que en Rudin del "Análisis Funcional" está demostrado que el $L^p$-espacios con $0<p<1$ son un ejemplo de esto.

Answer 2

Tal espacio vectorial no va a ser una normativa espacio vectorial, y para esto usted realmente sólo necesita cualquier espacio vectorial cuya topología es trivial.

Sin embargo, tenga en cuenta que asumiendo el axioma de elección cada espacio vectorial es isomorfo a una normativa espacio vectorial (por ejemplo, mediante la incorporación en un adecuado subespacio de $L^2(X)$ para algunos lo suficientemente grande como $X$), por lo que habrá una topología que es la más rica en continuo funcionales.

Si el axioma de elección no mal, entonces es coherente que no es un espacio vectorial que es no sólo sin el continuo funcionales, pero sin ningún funcionales. Esto significa que no se puede topologized de tal manera que cualquier no-trivial funcionales.

Answer 3

Continuando Asaf la respuesta ... no Se puede exhibir un valor distinto de cero continuo lineal funcional (ni, de hecho, cualquier valor distinto de cero lineal funcional) para el espacio de Banach $l^\infty / c_0$. Tales cosas existen por el Axioma de Elección.