Computación $d\omega$ $g^\ast \omega$ al $(x,y)=g(s,t)=(st,e^t)$ $\omega= xdy$

Question

Definir $g:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}$ $(x,y)=g(s,t)=(st,e^t)$ y deje $\omega= xdy$. ¿Cómo puedo calcular $d\omega$$g^\ast \omega$?

En realidad, yo calculadas $d\omega =tds \wedge e^tdt$. (¿Es esto cierto?) Sin embargo, estoy confundido acerca de la retirada de mapa.

Answer 1

Vamos a tratar con $\mathrm{d} \omega$ primera. El exterior derivado de una forma diferenciada se define en términos puramente de que forma diferenciada, por lo $g$ nunca entra en la foto de aquí. La regla de Leibniz para exterior derivados es $$\mathrm{d} (\alpha \wedge \beta) = \mathrm{d} \alpha \wedge \beta + (-1)^p \alpha \wedge \mathrm{d} \beta$$ donde $\alpha$ $p$- forma. Por lo tanto, $$\mathrm{d} (x \, \mathrm{d} y) = \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y - x \, \mathrm{d}^2 y = \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y$$ desde $\mathrm{d}^2 y = 0$.

La retirada de una forma diferenciada por una suave mapa es un poco más confuso. Recordemos que un $1$forma $\alpha$ en un colector $M$ es un buen mapa de $\alpha : M \to T^* M$ tal que $$\alpha |_p \in T^*_p M \text{ for each } p \text{ in } M$$ donde he escrito $\alpha |_p$ significa que el valor de $\alpha$$p$. Pero un elemento de $T^*_p M$ es lineal en el mapa de $T_p M \to \mathbb{R}$, por lo que da un suave mapa de colectores $g : M' \to M$, en cada punto de $p'$$M'$, tenemos $$\alpha |_{g(p')} \circ \mathrm{D}g |_{p'} : T_{p'} M' \to \mathbb{R}$$ donde $\mathrm{D}g |_{p'} : T_{p'} M' \to T_{g(p')} M$ es el Jacobiano de $g$$p'$. Por lo tanto esto produce un $1$-forma en $M'$ $$g^* \alpha : M' \to T^* M'$$ definido por $$g^* \alpha |_{p'} = \alpha |_{g(p')} \circ \mathrm{D}g |_{p'}$$

Ahora, esto sólo se ve complicado, pero realmente no lo es. Desde $g(s, t) = (x, y) = (st, \exp t)$, tenemos $$\begin{align} g^* \mathrm{d} x & = t \, \mathrm{d} s + s \, \mathrm{d} t \\ g^* \mathrm{d} y & = \exp(t) \, \mathrm{d} t \end{align}$$ y $g^*$ es un homomorphism de exterior diferencial álgebra de operadores, por lo que $$g^* (x \, \mathrm{d} y) = s t \exp(t) \, \mathrm{d} t$$ que es exactamente lo que usted esperaría de ingenuamente empujando alrededor de operadores diferenciales y sustituyendo! (Esto es en parte la razón por la que algunas personas simplemente omitir la notación $g^*$.)