¿Por qué el más grande de $x$ tal que $a$, $b$ dividido por $x$ dejan el mismo resto igual $a-b$?

Question

Supongamos que dos números de $a$$b$, $a=kq_1+r_1=3\times 17 + 1 = 52$$b = kq_2+r_2=3 \times 15 +1=46$.

Está claro que $52$ $46$ deja el mismo recordatorio 1 cuando se divide por $3$, porque les diseñado de esta manera. Pero, sorprendentemente, sin embargo, yo diseño los números de la mayor $x$ que deja el mismo recordatorio es $kq_1-kq_2=k(q_1-q_2)$. ¿Por qué es eso? En este caso tenemos a$52 = 6\times 8+ \color \red 4$$46 = 6\times 7 + \color \red 4$.

Ahora supongamos que hay tres números $a$, $b$, $c$ y $x$(asumiendo $a>b>c \geq x$) tal que $x$ sale el mismo aviso cuando dividimos cada una de las $a,b$ $c$ con ella. $x$ se supone que el valor más grande posible que sostiene la afirmación. Ahora $x$ está dado por el H. C. F$a-b, a-c$$b-c$. ¿Por qué es eso? Cómo podemos probar este matemáticamente?

Answer 1

Suena como que usted ha encontrado que el mayor entero $x$ tal que $a\equiv b\bmod x$ $x=a-b$ (de haber asumido, WLOG, que $a\geq b$). Eso es porque, por definición, $$a\equiv b\bmod x\iff x\mid a-b$$ y el mayor divisor de cualquier número entero es en sí mismo.

Answer 2

Aquí está mi intento en un paso-por-paso responder que no hace uso de la noción de aritmética modular.

Supongamos que dos números de $a$$b$, $a=kq_1+r_1=3\times 17 + 1 = 52$$b = kq_2+r_2=3 \times 15 +1=46$.

Está claro que $52$ $46$ deja el mismo recordatorio 1 cuando se divide por $3$, porque les diseñado de esta manera. Pero, sorprendentemente, sin embargo, yo diseño los números de la mayor $x$ que deja el mismo recordatorio es $kq_1-kq_2=k(q_1-q_2)$. ¿Por qué es eso? En este caso tenemos a$52 = 6\times 8+ \color \red 4$$46 = 6\times 7 + \color \red 4$.

Deje $a$ $x$ ser enteros positivos. El cociente entero de $a$ $x$ es el entero más grande $q$ tal que $qx\le a$. El resto de $a$ sobre la división por $x$ $r=a-qx$; necesariamente satisface $0\le r<x$.

Observe primero que el $kq_1-kq_2=(a-r)-(b-r)=a-b$ donde $r$ es el común del resto de $a$ $b$ sobre la división por $k$. Por lo que su declaración podría ser reformulado como "el mayor $x$ que sale en el resto es $a-b$." Podemos demostrar esto.

Deje $a>b$, e $x$ ser enteros positivos. Deje $q_a$ $q_b$ ser el entero correspondiente cocientes y deje $r_a$ $r_b$ la correspondiente resto en la división por $x$.

Para $a$ $b$ a tienen el mismo resto en la división por $x$$r_a=r_b$, lo que significa que $a-q_ax=b-q_bx$. Esto implica que $a-b=x(q_a-q_b)$. Así que si $a$ $b$ tienen el mismo resto en la división por $x$, $a-b$ es un múltiplo entero de $x$.

Por el contrario, si $a-b$ es un múltiplo entero de $x$, $a-b=qx$ y, por tanto, $a=b+qx$ para algunos entero $q$. Desde $r_a=a-q_ax$$r_b=b-q_bx$, tenemos $$ r_a=b+qx-q_ax=r_b+q_bx+qx-q_ax=r_b+(q_b+q-q_a)x. $$ Pretendemos que $q_b+q-q_a=0$, y por lo tanto $r_a=r_b$. De esta manera se sigue desde $0\le r_a,r_b<x$, lo $-x<r_a-r_b<x$. El único múltiplo entero de $x$ en este rango es $0\cdot x$. Hemos demostrado que si $a-b$ es un múltiplo de a$x$,$r_a=r_b$.

Por lo $a$ $b$ tienen el mismo resto en la división por $x$ si y sólo si $a-b$ es divisible por $x$. El mayor $x$ tal que $a$ $b$ tienen el mismo resto en la división por $x$ debe ser, por tanto, el mayor entero que divide $a-b$. Esto es $a-b$ sí.

Ahora supongamos que hay tres números $a$, $b$, $c$ y $x$(asumiendo $a>b>c>x$) tal que $x$ sale el mismo aviso cuando dividimos cada una de las $a,b$ $c$ con ella. Ahora $x$ está dado por el H. C. F$a-b, a-c$$b-c$. ¿Por qué es eso? Cómo podemos probar este matemáticamente?

Nos basamos en la anterior prueba para demostrar esto. Dos de $a$, $b$, $c$ tienen el mismo resto en la división por $x$ si y sólo si su diferencia es divisible por $x$. Así $a$, $b$, y $c$ todos tienen el mismo resto en la división por $x$ si y sólo si todas las diferencias, $a-b$, $a-c$, y $b-c$ son divisibles por $x$. El mayor $x$ tal que $a$, $b$, y $c$ todos tienen el mismo resto en la división por $x$ es por lo tanto el mayor $x$ tal que $x$ divide a todos los tres de $a-b$, $a-c$, y $b-c$. Por definición de factor común más grande, este es el mayor factor común de $a-b$, $a-c$, y $b-c$.

Answer 3

Suponga $a=k\alpha + r_1$$b=k\beta + r_1$,$a\gt b$, por lo que tenemos $x=a-b=k(\alpha-\beta)$, que es la distancia entre los dos números. Es obvio que el no puede ser un $y\gt x$ con su propiedad, como $y$ le rodean tanto $a$ $b$ o uno de los extremos de la $y$ intervalo sería de entre el $a$$b$, pero la igualdad del resto sólo se produciría si $y=x$.

Para una distancia de $y$ $x$ debe $\lt x$, y como $y=1$ da un resto $0$ el cual debe ser menor que o igual a la original, el resto, tenemos $1\lt y\lt x$.

Luego podemos probar que $gcd(x,y)\gt1$, como si no e $tgcd(x,y)=1$ , el resto de $b$, $b\mod y$ es claramente diferente a $a \mod y$. Si fueran lo mismo tendríamos $a-b\equiv 0\mod y$$y|(a-b) \to y|x$, una contradicción.

Pero es imposible para un $y$ a dar un remanente de más de $x$, como si $ky=x$ dicen, y tuvimos $b\equiv c \mod x$, $b\equiv (c-jy) \mod (x+jy)$ mientras $c-jy$ es positivo (es decir,$x+jy\le b$), por lo que es un pequeño residuo.

El caso de tres y más números en una progresión aritmética se puede ver a partir de ver que en cada revestido de la máxima $x$ ser un factor de cada uno de $a-b$, $a-c$ y $b-c$, y así es necesario que el máximo factor común. Esto necesita la prueba adicional de que si $gcd(m,n)\gt1$$m\lt n$$remainder(m)\le remainder(n)$, que es esencialmente la misma prueba como en el párrafo anterior.

Answer 4

Considerar la alternativa. Supongamos $a > b$$a \equiv b \mod x$$x > (a-b)$. Que sugiere que la $(a - b) \equiv 0 \mod x$, es decir, que la $x \mid (a - b)$. Pero si $x > (a - b)$, eso es imposible.

Answer 5

Su afirmación no es correcta. Vamos $a=13$, $b=7$, $c=1$, $x=2$.

Claramente, $a=b=c = 1 \mod x$. Por lo que su hipótesis se cumplen.

Entonces $$ a-b = 13-7 = 6$$ $$ b-c = 7-1 = 6 $$ $$ a-c = 13-1 = 12.$$

Obviamente, $\mathrm{gcd}(6,6,12) = 6 \neq 2 = x$.

Esto conduce a una contradicción, y por lo tanto su afirmación no es correcta.