Parte Principal: $ \frac{1}{z(\exp(z)-1)^2} $ (Laurent de la serie)

Question

Tengo que calcular de la siguiente, su parte principal del de la serie de Laurent alrededor de $z=0$.

$$ \frac{1}{z(\exp(z)-1)^2} $$

Yo tengo problemas con la informática de la serie de $(\exp(z)-1)^2$. Yo quería sacar el $\frac{1}{z}$ y luego se multiplica por la serie de la exp plazo.

Gracias ya.

Answer 1

Es conveniente para representar a $\exp(z)-1$ usando el big-O notación. \begin{align*} \exp(z)-1&=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n!}\\ &=z+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{24}z^4+O(z^5)\tag{1} \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \frac{1}{z\left(\exp(z)-1\right)^2}&=\frac{1}{z\left(z+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{24}z^4+O(z^5)\right)^2}\tag{2}\\ &=\frac{1}{z\left(z^2+z^3+\frac{7}{12}z^4+\frac{1}{4}z^5+O(z^6)\right)}\tag{3}\\ &=\frac{1}{z^3}\cdot\frac{1}{1+z+\frac{7}{12}z^2+\frac{1}{4}z^3+O(z^4)}\tag{4}\\ &=\frac{1}{z^3}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left(z+\frac{7}{12}z^2+\frac{1}{4}z^3+O(z^4)\right)^n\tag{5}\\ &=\frac{1}{z^3}\left(1-\left(z+\frac{7}{12}z^2+\frac{1}{4}z^3+O(z^4)\right)\right.\\ &\qquad\qquad\left.+\left(z^2+\frac{7}{6}z^3+O(z^4)\right)-\left(z^3+O(z^4)\right)+O(z^4)\right)\tag{6}\\ &=\frac{1}{z^3}\left(1-z+\frac{5}{12}z^2-\frac{1}{12}z^3+O(z^4)\right)\tag{7}\\ &=\color{blue}{\frac{1}{z^3}-\frac{1}{z^2}+\frac{5}{12z}}-\frac{1}{12}+O(z)\tag{8} \end{align*}

con la marca en azul la parte en (8) siendo la parte principal de $$\frac{1}{z\left(\exp(z)-1\right)^2}$$ at $z=0$.

Comentario:

• En (2) utilizamos la representación de $\exp(z)-1$ a partir de (1).

• En (3) multiplicamos y recoger todos los términos de potencia mayor o igual$6$$O(z^6)$.

• En (4) el factor $\frac{1}{z^3}$.

• En (5) aplicamos la serie geométrica de expansión.

• En (6) se multiplican, escriba los términos de $n=0,1,2$ $n=3$ y recoger todos los demás sumandos en $O(z^4)$.

• En (7) obtenemos los términos en consecuencia.

Answer 2

Sugerencia: El cálculo se puede simplificar si uno de los primeros avisos de que el simétrico del generador de números de Bernoulli, el llamado $A$-función del techo $$\widehat{A}(z)~:=~\frac{z/2}{\sinh\frac{z}{2}}~=~1-\frac{z^2}{24}+ O(z^4)\tag{1}$$ es, incluso, y por lo tanto no puede haber una tercera fin de plazo.

A continuación, OP función del $f(z)$ satisface

$$ z^3f(z)~=~\frac{z^2}{(e^z-1)^2}~=~ \widehat{A}(z)^2e^{-z}$$ $$~=~\left(1-\frac{z^2}{12}+ O(z^4) \right)\left(1-z+\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{6} + O(z^4) \right) $$ $$~=~\left(1-z+\frac{5z^2}{12}-\frac{z^3}{12} + O(z^4) \right),$$

a partir de la cual la parte principal de Laurent de la serie se pueden leer directamente fuera.