$|G|=p^nm$ y número de subgrupos de orden $p^s$

Question

Suponemos que $G$ es un grupo finito tal que $|G|=p^nm$ y $(p,m)=1$ ( $p$ es primo). Si $s\le n$ y $r_s$ es el número de subgrupos de $G$ con el pedido $p^s$ Quiero demostrar que $r_s$ es congruente con 1 $mod \ p$ .

Ya he demostrado, utilizando la ecuación de la clase, que si $|G|=p^n$ entonces $r_s$ es congruente con 1 $mod \ p$ . Creo que podemos utilizar esto y un teorema de Sylow para conseguir lo que queremos, pero no he encontrado una forma adecuada.

¿Podría darme una pista?

Gracias.

Answer 1

Ya que menciona los teoremas de Sylow, asumo que ya conoce $r_n \equiv 1 \mod{p}$ . Sea $1 \leq s \leq n-1$ .

Dejemos que $P_1, P_2, \ldots, P_{r_{s+1}}$ sean subgrupos de orden $p^{s+1}$ en $G$ . Para cada $i$ , dejemos que $p_i$ sea el número de subgrupos de orden $p^s$ en $P_i$ .

Dejemos que $Q_1, Q_2, \ldots, Q_{r_s}$ sean los subgrupos de orden $p^s$ de $G$ . Para cada $i$ , dejemos que $q_i$ sea el número de subgrupos $P_j$ que contienen $Q_i$ . Entonces

$$q_1 + q_2 + \cdots + q_{r_s} = p_1 + p_2 + \cdots + p_{r_{s+1}}$$

Ahora $q_i$ es igual al número de subgrupos de orden $p^{s+1}$ en $N_G(Q_i)$ por lo que por inducción $q_i \equiv 1 \mod{p}$ . Ya ha mencionado que sabe $p_j \equiv 1 \mod{p}$ . Entonces la ecuación anterior implica $r_s \equiv r_{s+1} \mod{p}$ y así $r_s \equiv 1 \mod{p}$ por inducción.