Deje $F$ ser totalmente real campo real con los primos $\tau_1,\ldots,\tau_n$ $\pi$ un cuspidal automorphic representación de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_F)$. Mi escaso entender es que para $\pi$ para ser conectados a un cuspidal de Hilbert newform de peso $(k_1,\ldots,k_n)$ $k_i$ todos de la misma paridad y $k_i\geq 2$ (quizás estas suposiciones no son necesarios, pero no estoy seguro), los componentes infinito $\pi_{\tau_1},\ldots,\pi_{\tau_n}$ $\pi$ deben ser discretas serie cuya menor no negativo $K$-tipo está relacionado con el $k_i$. Pero, precisamente, cómo la $K$-tipo está relacionado con el peso, me parece diferir de la fuente.
Mi comprensión de lo que se entiende por $\pi_{\tau_i}$ ser discreta de la serie es que surge como el espacio de $K$-finito de vectores en la normalizado parabólico de inducción $\mathrm{Ind}(\mu,\nu)$ para los personajes $\mu,\nu:\mathbf{R}^\times\rightarrow\mathbf{C}^\times$ satsifying $\mu\nu^{-1}(t)=\mathrm{sgn}(t)^\epsilon\vert t\vert^{k-1}$ donde $k$ es un número entero mayor que $1$ $\epsilon\equiv k\pmod{2}$ (esta es la definición de la Protuberancia del libro en automorphic representaciones). En las dos referencias que he mirado (Carayol del papel en las representaciones de Galois apegado a las formas modulares de Hilbert), así como el papel de Ohta que se hace referencia en el que el papel de dar aparentemente diferentes condiciones en el $\pi_{\tau_i}$ para asegurarse de que $\pi$ proviene de un Hilbert de forma modular. Carayol pide que $\pi_{\tau_i}$ provienen de los personajes $t\mapsto\mathrm{sgn}(t)^{k_i}\vert t\vert^{(1/2)(k_i-1-w)}$ $t\mapsto\vert t\vert^{(1/2)(-k_i+1-w)}$ para algunos entero $w\equiv k_i$ mod $2$. Por otro lado, Ohta, los cambios de los exponentes en los dos personajes a$(1/2)(k_i+1-w)$$(1/2)(-k_i-1-w)$.
Existe una diferencia conceptual entre estos dos conjuntos de los exponentes? Son solo diferentes normalizaciones? Uno de ellos es un error tipográfico? Carayol tiene sentido para mí, porque la diferencia de los exponentes es $k_i-1$, lo que, al menos, el uso de Bump convenios, significaría que $\pi_{\tau_i}$ tiene la mínima no negativo $K$tipo $k_i$, y he leído en otras fuentes que esto es cómo se supone que funciona.
Realmente espero que esta pregunta no es completamente no-sensical, y me disculpo si es que.
