Es verdad que en un Noetherian anillo cada descendente de la cadena de primer ideales estabiliza?

Question

Es verdad que en un Noetherian anillo cada descendente de la cadena de primer ideales estabiliza?

Sería bueno si yo tuviera este resultado. Como iba a acabar con mi prueba de que el mínimo de los números primos de un ideal de a $I$ de un Noetherian anillo de $R$ consisten en la mínima (w.r.t. inclusión) elementos de la $\text{Ass }I$.

Answer 1

Sí: si $\mathfrak p$ es un alojamiento ideal generado por a $n$ elementos en un Noetherian anillo, entonces se ha de altura en la mayoría de las $n$. En otras palabras, el más largo estrictamente descendente de la cadena de primer ideales de partida con $\mathfrak p$ no tiene más de $n$ pasos. Esto se deduce de la aplicación repetida de los Krull director de ideal teorema.

Lo que se dice, no puede ser arbitrariamente larga finita descendente cadenas de primer ideales en un Noetherian anillo. De hecho, hay Noetherian anillos de la infinita dimensión de Krull.