Ecuación diferencial

Question

Resolver la siguiente ecuación diferencial $$x''(t)=x^6(t)$$ Si yo tuviera $x'(t)$ en lugar de $x''(t)$ el ejercicio habría sido más fácil para mí.

Agradecería un poco de ayuda con este problema.

Muchas gracias.

Answer 1

vamos $$y = \frac{dx}{dt}.$$ then we have $$\frac{dx}{dt} = y, \frac{dy}{dt} = x^6.$$ dividing one by the other gives $$ y\, dy - x^6 dx= 0$$ which has the integral $$y = \pm \sqrt{\frac27}\sqrt{k + x^7} \ t= \pm \sqrt{\frac72}\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{k + x^7}}$$

Answer 2

Sustituto $x' =u(x) $ la tenemos $$x'' =u'(x) x' =u'u $$ so we obtain $$u'u =x^6$$ hence $$udu =x^6 dx$$ and therefore $$u^2=\frac{2}{7} x^7 +C. $$ Hence $$t+C_1 =\pm\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{7} x^7 +C}}.$$