La solución de $7[x]+23\{x\}=191$

Question

Para cada número real $x$, $[x]$ denota el mayor entero menor que o igual a$x$$\{x\}=x-[x]$.

El número de soluciones reales de

$$7[x]+23\{x\}=191$$ es

(a) 0 $\quad$ b) 1 $\quad$ c) 2 $\quad$ (d) 3

He resuelto así:

$$7[x]+23\{x\}=191$$

$$7(x-\{x\})+23\{x\}=191$$

$$7x+16\{x\}=191$$

Ahora,

$$0 \leq \{x\} < 1$$

$$0 \leq 16\{x\} < 16$$

$$0 \leq 191-7x < 1$$

$$-16 < 7x-191 \leq 0$$

$$175 < 7x \leq 191$$

$$\frac{175}{7} < x \leq \frac{191}{7}$$

$$25 < x \leq 27.2857$$

Pero $x=26$ no satisface la ecuación dada. Respuesta dada es $(d)$ $3$.

No entiendo donde estoy equivocado.

Una sugerencia sera de gran ayuda.

Por favor, no proporcionar la solución completa.

Lo siento por los pobres de Látex.

Answer 1

$$0\le\{x\}<1\implies0\le23\{x\}<23$$

$$\implies0\le191-7[x]<23\iff0\ge7[x]-191>-23$$

$$\iff28>191/7\ge[x]>(191-23)/7=24$$

Por eso, $[x]$ $25,26,27$

Answer 2

Parte fraccionaria de x , $\{x\}$ debe ser de la forma $\frac{y}{23}$. Por lo tanto, escribir $x = z + \frac{y}{23}$ donde $z = [x]$ $y<23$ $y,z$ son enteros. Por lo tanto, $7z + y = 191$. $$191 \equiv 2 \mod 7$$ Por lo tanto, $y \equiv 2 \mod 7$. El número de tales valores de $y$ menos que 23 son sólo 3 (2,9,16).

Answer 3

Usted debe trabajar con $[x]$ e no $x$, trate de $$0≤ \{x\} <1$$

$$0≤ 23\{x\} <23$$

$$0≤191−7[x]<23$$

$$−23<7[x]−191≤0$$

$$168<7[x]≤191$$

$$168/7<[x]≤191/7$$

$$24<[x]≤27.2857$$

Así que sus respuestas son algunas de las $x$ con $[x]$ = $25$, $26$ o $27$

El $\{x\}$ parte está a sólo $\frac{(191 - 7[x])}{23}$

entonces :)