Schwinger-Dyson ecuaciones: Derivar una ecuación de movimiento para $\langle \phi(x) \phi(y) \rangle$

Question

Estoy considerando la distancia Euclídea de Klein-Gordon teoría, con la acción $$S_{0}[\phi] = \frac{1}{2}\int~\mathrm d^{4}x ~\phi(x) \left[ - \partial_{x}^{2} + m^{2} \right] \phi(x).\tag{1} $$ Mi generación de la función está dada entonces por:

$$\mathcal{Z}_{0}[J] = \int \mathcal{D}[\phi]\ \exp\left( - S_{0}[\phi] + \int ~\mathrm d^{4}x \ \phi(x) J(x)\right).\tag{2}$$

Voy a derivar la siguiente ecuación de movimiento, que involucran a los dos puntos de la función: $$ \left[ - \partial_{y}^{2} + m^{2} \right] \langle \phi(y) \phi(x) \rangle = \delta^{(4)}(y-x).\tag{3}$$

Me han dicho que para hacer esto, empezando con la siguiente definición de un punto de la función:

$$ \langle \phi(x) \rangle = \frac{1}{\mathcal{Z}_{0}[0]} \frac{\delta \mathcal{Z}_{0}[J]}{\delta J(x)} \bigg|_{J~=~0} \tag{4}$$

Estoy supone que el uso de la invariancia de la integración funcional en el campo re-defintions; es decir. si reemplazamos $\phi(x)$$\phi^{\prime} = \phi(x) + \epsilon(x)$.

$\ $

He estado buscando en internet y el enfoque habitual que he visto, implica analizar la igualdad de $$\int \mathcal{D}[\phi] \exp( - S_{0}[\phi] ) \phi(x) = \int \mathcal{D}[\phi^{\prime}] \exp( - S_{0}[\phi^{\prime}] ) \phi^{\prime}(x) \tag{5}$$ y la realización de una expansión en $\epsilon$.

Cómo haría usted esta comenzando con $\langle \phi(x)\rangle $?

Answer 1

OP buscado la fórmula (3) es un caso especial de Schwinger-Dyson (SD) las ecuaciones

$$ i\manejadores\left< T\left\{\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(y)} \right\}\right>_J ~=~\left< T\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(y)}\right\}\right>_J\etiqueta{A}$$

con $$F[\phi]~=~\phi(x).\tag{B}$$ La SD nca. (A) puede ser probado:

1. ya sea formales de integración por partes (suponiendo que no hay límite de aportaciones) $$0~=~\int\! {\cal D}\phi ~\frac{\delta }{\delta \phi(y)}\left( F[\phi]e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]}\right)\tag{C}$$ dentro de la ruta integral $$\int\! {\cal D}\phi ~F[\phi]e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]}~=~Z[J]~\left< T\{ F[\phi]\}\right>_J~; \tag{D}$$

2. o, equivalentemente, por formal infinitesimal campo redefiniciones/reparametrizations de la integración de las variables en la ruta integral (D) (suponiendo que la ruta integral de medida ${\cal D}\phi$ es la traducción invariante). OP se le pide a usar el último método.

Answer 2

Aquí es un boceto de cómo va. Algunos de los factores de yo o algo no está cuidado.

Integral de la $\mathcal{Z}_{0}[J] = \int \mathcal{D}[\phi]\ \exp^{ i\left( - S_{0}[\phi] + \int ~\mathrm d^{4}x \ \phi(x) J(x)\right)}$ puede ser evaluado de forma explícita por la discretización del espacio-tiempo. Después de discretización y la división de la integral en los intervalos (la forma habitual de evaluación), se obtiene,

$\int dq_1dq_2...dq_N\ exp^{(\frac{i}{2})q.(-\partial^2+m^2).q+iJ.q}$ donde $q$ es una forma de la matriz elemento de la columna y esta integral se evalúa a $Ne^{-(i/2)J.D.J}$ (Gaussiana simple integración con N un factor constante), donde D es la inversa de la diferencia de operador $(-\partial^2+m^2)$ y el uso de la $D.D^{-1}=1$ en continuum límite da,

$(-\partial^2+m^2)D(x-y)=\delta^4(x-y)$ .

Definición de n-función de punto es, $\langle\phi(x_1)\phi(x_2).....\phi(x_n)\rangle=\left. \frac{1}{i^n}\frac{\delta^nZ_0}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)....\delta J(x_n)}\right|_{J~=~0}$

Ahora tome, $Z_0(J)=e^{-(i/2)J.D.J}$ N factor omitido a partir de la definición de n-punto de la función y la definición de $Z_0$.

Los dos puntos de la función que le es dado como, $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=-\left.\frac{\delta^2Z_0}{\delta J(x)\delta J(y)}\right|_{J~=~0}$. Haciendo el cálculo con la $Z_0$ y poner $J=0$ rendimientos, $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=iD(x,y)$ desde el que se ve $(-\partial^2+m^2)\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\delta^4(x-y)$.

Para referencia, consulte Ryder qft libro. Una función de punto de forma idéntica se desvanece, pero la diferenciación funcional de la expresión de nuevo le da dos puntos a la función.