Hay 100 cuerdas en una bolsa. En cada paso, dos extremos de la cuerda se recogen al azar, se atan y se meten en una bolsa. El proceso se repite hasta que no queden cabos libres.
¿Cuál es el número esperado de bucles al final del proceso?
Supongamos que se empieza con $n$ cuerdas. Se eligen dos extremos libres y se atan juntos:
Si por casualidad eliges dos extremos de la misma cuerda, habrás añadido un bucle adicional (que puedes dejar a un lado, ya que nunca lo recogerás ahora), y tendrás $n-1$ cuerdas
Si por casualidad eliges los extremos de diferentes cuerdas, no habrás añadido ningún bucle, y habrás sustituido efectivamente las dos cuerdas por una más larga, por lo que tendrás $n-1$ cuerdas en este caso también.
De la $\binom{2n}{2}$ formas de elegir dos extremos, $n$ de ellos resultan en el primer caso, por lo que el primer caso tiene probabilidad $\frac{n}{2n(2n-1)/2} = 1/(2n-1)$ . Así que el número esperado de bucles que añadir en el primer paso cuando se empieza con $n$ cuerdas, es $$\left(\frac{1}{2n-1}\right)1 + \left(1-\frac{1}{2n-1}\right)0 = \frac{1}{2n-1}.$$
Después de esto, se vuelve a empezar con $n-1$ cuerdas. Dado que lo que ocurre en el primer paso y en los posteriores son independientes (y la expectativa es lineal de todos modos), el número esperado de bucles es $$ \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n-3} + \dots + \frac{1}{3} + 1 = H_{2n} - \frac{H_n}{2}$$
En particular, para $n=100$ la respuesta es aproximadamente $3.28$ que, ahora que lo pienso, parece sorprendentemente pequeño para el número de bucles.
Para $n=2$ Hay ${4 \choose 2} = 6$ formas de elegir dos extremos, y sólo $2$ formas daría dos bucles.
@n0vakovic: Uy, gracias por señalarlo. Lo he arreglado. Ahora da la respuesta correcta para n=2 (1+1/3 = 4/3).
Esta pregunta es muy antigua (más de 10 años), pero hay una solución más sencilla de explicar, con la misma idea general que la respuesta aceptada.
Supongamos que, en un momento dado, hay $n$ cabos sueltos. Una vez que elijas el primer cabo suelto, tienes $n-1$ otros cabos sueltos para atar la cuerda, cada uno con probabilidad $\frac{1}{n-1}$ . Observa que sólo uno de los cabos sueltos está en la misma cuerda que el primer cabo suelto.
Cuando $n = 200$ (recuerda $n$ es el número de cabos sueltos y hay 2 cabos sueltos por cuerda), la respuesta es simplemente $\frac{1}{200-1}+\frac{1}{200-3}+\dots+\frac{1}{200-199}$ . Añadimos, ya que $n$ es arbitrario para un momento dado y especifica un tiempo diferente de que usted haga un bucle en la cuerda.
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