¿Cuál es la mejor manera de definir el diámetro del subconjunto vacío de un espacio métrico?

Question

Esta pregunta está relacionada con ¿Por qué los espacios métricos no son vacíos? . Creo que se debe permitir que un espacio métrico esté vacío, y muchas autoridades, incluido Rudin, están de acuerdo conmigo. De esta manera, cualquier subconjunto de un espacio métrico es un espacio métrico, no hay que hacer una excepción para $\varnothing$ y puede atribuir ciertas propiedades a $\varnothing$ como por ejemplo, $\varnothing$ es compacto y conectado. Por definición del diámetro de un espacio métrico, el diámetro de $\varnothing$ debe ser $-\infty$ desde que el $\sup$ del conjunto vacío es $-\infty$ . Esto "se siente mal", ya que el diámetro es una medida del "tamaño" de un espacio métrico o de un subconjunto del mismo, y parece que el diámetro de $\varnothing$ debería ser cero.

Creo que realmente tengo dos preguntas:

Si se permite que el diámetro del conjunto vacío sea $-\infty$ ¿conduce a problemas? Por ejemplo, $-\infty$ más cualquier número real es $-\infty$ Y puedo imaginarme que eso podría dar lugar a un problema, pero no he visto una situación real en la que eso ocurra.

En la práctica, ¿qué utilizan los analistas expertos (como Rudin, Folland, Royden, etc.) para el diámetro de $\varnothing$ ?

Answer 1

Los siguientes libros adoptan explícitamente la posición de que $\operatorname{diam}\varnothing =0$ :

• C. Kuratowski, Topología , vol. I
• M. H. A. Newman, Elementos de la topología de conjuntos planos de puntos

Los siguientes libros adoptan explícitamente la posición de que $\operatorname{diam}\varnothing =-\infty$ :

• G. F. Simmons, Introducción a la topología y al análisis moderno
• M. Ó. Searcóid, Espacios métricos

(Nunca había oído hablar de ninguno de los dos antes de que la búsqueda en Google Books los sacara a relucir).

Los siguientes libros restringen explícitamente la definición de diámetro a conjuntos no vacíos:

• W. Rudin, Principios del análisis matemático
• H. L. Royden, Análisis real .
• K. Falconer, Geometría fractal

Parece que W. Sierpiski, Topología general pertenece a la segunda o tercera categoría, porque el autor dice en la página 110: "Así, el diámetro de todo conjunto no vacío contenido en un espacio métrico es un número real no negativo, finito o infinito, definido de forma única". Pero no está muy claro cuál era la intención de Sierpiski al escribir esto.

Muchos libros no hacen nada de lo anterior: definen el diámetro de un conjunto como supremacía de las distancias entre pares, y no ofrecen más detalles.

Si se permite que el diámetro del conjunto vacío sea $\infty$ ¿conduce a problemas?

La definición de Medida de Hausdorff se convertiría en algo incómodo. Por ejemplo, la medida unidimensional implica el ínfimo de $\sum \operatorname{diam} U_i$ sobre ciertas familias de conjuntos. Si $\operatorname{diam}\varnothing =-\infty$ seríamos capaces de hacer el infimo $-\infty$ lanzando el conjunto vacío. (Nótese que el artículo de Wikipedia dice explícitamente que $\operatorname{diam}\varnothing =0$ ). Se puede intentar solucionar esto exigiendo $U_i$ sea no vacía, pero entonces la medida del espacio vacío se convierte en un caso especial (y la medir de $\varnothing$ definitivamente necesita ser $0$ ).

Otra cuestión es la desigualdad $$ \operatorname{diam}(A\cup B)\le \operatorname{diam}A+\operatorname{diam}B+\operatorname{dist}(A,B) $$ que debería ser válida para todos los $A,B$ . Supongamos que $B$ está vacío pero $A$ no lo es. El lado derecho se vuelve indefinido debido a la presencia de $\operatorname{diam}\varnothing =-\infty$ y $\operatorname{dist}(A,\varnothing)=+\infty$ . (Y esto último definitivamente tiene que ser $+\infty$ .)

Tercera cuestión: si se aplica un transformación métrica es decir, sustituye a la métrica $d$ con $\varphi(d)$ donde $\varphi $ es una función cóncava creciente, los diámetros de los conjuntos deben transformarse en consecuencia. Con $-\infty$ en la mezcla, uno es conducido a convenciones incómodas ( $\sqrt{-\infty}=-\infty$ ?).

---

Dicho esto, puedo imaginar algunos argumentos a favor de $\operatorname{diam}\varnothing =-\infty$ . Una de ellas es que la siguiente afirmación se hace realidad:

En un espacio métrico completo, cada secuencia decreciente de conjuntos cerrados $C_n$ con $\operatorname{diam}C_n\to 0$ tiene una intersección no vacía.

(citado de S. Willard, Topología general ). Si $\operatorname{diam}\varnothing =0$ lo anterior es falso sin el requisito adicional de que $C_n$ son no vacíos.

Dicho esto, probablemente sea mejor poner no vacío allí. La ausencia de no vacío conduce a afirmaciones erróneas en varios libros, por ejemplo, "si $N$ es compacto, existe $x,y\in N$ tal que $\rho(x,y)=\operatorname{diam}N$ ". (G.T. Whyburn, Topología analítica ).

---

Resumen.

1. Es más seguro mantener $\operatorname{diam}$ no negativo, porque puede aparecer en fórmulas que necesitan entradas no negativas.
2. Si la validez de lo que escribe depende de la interpretación de $\operatorname{diam}\varnothing$ Considere la posibilidad de cambiar la declaración.

Answer 2

He estado leyendo Kolmogorov y Fomin, Análisis real introductorio que tiene los siguientes dos problemas al final de la sección 7 (nota: $\rho(\cdot,\cdot)$ es la distancia en el espacio métrico):

Problema 4. Por el diámetro de un subconjunto $A$ de un espacio métrico $R$ se entiende el número $$ d(A) = \sup_{x,y\in{A}} \rho(x,y). $$ Supongamos que R es completo y que ${A_n}$ sea una secuencia de subconjuntos cerrados de $R$ netsted en el sentido de que $$ A_1 \supset A_2 \supset \ldots \supset A_n. $$ Supongamos además que $$ \lim_{n\rightarrow{}\infty}d(A_n) = 0. $$ Demostrar que la intersección $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n$ es no vacía.

---

Problema 6. Dé un ejemplo de un espacio métrico completo $R$ y una secuencia anidada ${A_n}$ de subconjuntos cerrados de $R$ tal que $$ \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n = \emptyset. $$ Concilie este ejemplo con el problema 4.

Para responder al problema 6:

Si $R=\emptyset$ entonces $R$ es un espacio métrico completo . Y si definimos $A_n=\{\emptyset,\emptyset,\ldots\}$ entonces $A_n$ es una secuencia anidada de subconjuntos cerrados de $R$ . Y claramente $\cap_{n=1}^{\infty}A_n = \emptyset$ . Para conciliar esto con el problema 4 podemos preguntarnos cuál es el diámetro del conjunto vacío. Como sugiere @user111213, esto no se puede conciliar si el conjunto vacío tiene diámetro cero. Si el diámetro es $-\infty$ o si no está definida, entonces el límite en el problema 4 no puede ser cero, con lo que se reconcilia nuestro ejemplo.